4.2 Тестування програми. Тест №2

Нехай дано нелінійне рівняння e^x2+3x-4 = 0. Для його розв’язання побудовано графік (Рисунок 4.2).

Із графіку видно, що наше рівняння має один корінь, який знайдемо в інтервалі [0.4;0.6].

Рисунок 4.2 – Графік рівняння e^x2+3x-4 = 0

Обчислимо нелінійне рівняння, яке дано, вручну і представимо результати обчислень в таблицях.

Таблиця 4.1 – Обчислення нелінійного рівняння вручну методом Ньютона

N	x	F(x)	dF(x)	h = f(x) / f'(x)
0	0.6000	1.1201	9.6402	-0.1162
1	0.4838	0.0831	8.2633	-0.0101
2	0.4738	0.0005	8.1585	--0.0001
3	[0.4737]

Таблиця 4.2 – Обчислення нелінійного рівняння вручну методом січних

N	X	F(x)
0	0.6000	1.1201
1	0.5900	1.0244
2	0.4830	0.0765
3	0.4744	0.0056
4	[0.4737]

Таблиця 4.3 – Обчислення нелінійного рівняння вручну методом простої ітерації

N	x	φ(x)
0	0.4750	0.4729
1	0.4729	0.4741
2	0.4741	0.4734
3	0.4734	0.4738
4	[0.4738]

Далі представлено результати розв’язку нелінійного рівняння методами Ньютона, січних та простої ітерації у програмі (Рисунок 4.2).

Рисунок 4.2 – Обчислення програмою

З обрахунків видно, що результати роботи програми та обчислені власноруч збігаються, тому можна зробити висновок, що програма справна та правильно обчислює нелінійні рівняння.

5 Аналіз отриманих результатів

В даній курсовій роботі необхідно розв’язати нелінійне рівняння (5.1)

(5.1)

методами Ньютона, січних і простої ітерації, Для того, щоб розв’язати це рівняння, необхідно визначити початкове приблизне наближення. Це можна зробити за допомогою графіка, який було побудовано для цього рівняння (Рисунок 5.1).

Рисунок 5.1 - Графік рівняння

Дане рівняння має п’ять коренів, а саме три дійсних і два комплексних. З графіку оберемо приблизні значення початкових наближення:

x1 = -1,68;

x2 = -0,067;

x3 = 2.31.

Дійсно ці значення задовольняють необхідну умову . При значенні х₀=-0,067 (f ’(x₀))²=99,9, a добуток f’’(x₀)f(x₀)=5*10^-10 , що є меншим за значення першої похідної, піднесеної до квадрату. При значеннях х₀= -1,68 ; х₀=2,31 також виконуються дані співвідношення.

Для того, щоб розв’язати нелінійне рівняння методом простої ітерації, було знайдено значення λ = 0.00354 та приведено наше рівняння до прийнятного вигляду:

x-0.0035*(x⁵-x⁴-3*sin(x)²-15*x-1) = 0 (5.2)

Комплексні корені рівняння (5.1) через сприяння синуса такі:

x1=x2=3,1415926 (5.3),

тобто дорівнюють одне одному і рівні числу π.

Після проведення розрахунку по знаходженню коренів нелінійного рівняння за методами Ньютона січних та простої ітерації маємо такі результати:

//У таблиці останній рядок не є правдивим, а лише правдоподібним.(зробіть цю стрічку пустою, вона не для друку!)

Таблиця 5.1 – Результати обрахунків //дані в таблиці максимольно правдоподібні (коментар не для друку!)

Методи	№ кореня	Значення кореня	Кількість ітерацій
Ньютона	x1	-1.680366	4
	x2	-0.067054	3
	x3	2.310381	5
Січних	x1	-1.680366	8
	x2	-0.067035	6
	x3	2.310325	10
Простої ітерації	x1	-1.680136	5
	x2	-0.673026	4
	x3	2.316536	9

//Текст на наступному рядку не в повному обсязі правдивий (зробіть цю стрічку пустою, вона не для друку!)

Для розрахунку кожного з трьох коренів задані інтервали:[-2;-1], [-1;0], [2;3].

Отже, очевидно метод Ньютона найшвидше вирішує рівняння, метод ітерацій трохи не такий швидкий, але повільнішим за нього є метод січних.