8.1Классификация моделей

Существует множество различных признаков, по которым производится классификация моделей. Наиболее часто модели относят к одному из двух классов: физическому либо математическому

Физические модели материальны, они воплощены в материале.

Прежде всего, это уменьшенные копии станков и оборудования, лабораторные действующие установки. При этом они могут отображать различные виды подобия. Например, макеты литейных цехов машиностроительных заводов реализуют геометрическое подобие оригинала и модели, что позволяет решать задачу рационального размещения плавильных печей и линий разливки металла.

Компьютерные модели являются предметной реализацией математических моделей, в этом смысле они материальны, так как алгоритмы их функционирования записаны в виде команд на магнитном носителе. В то же время компьютерные модели реализуют математическое подобие описаний оригинала и модели. Знаковые модели отображают математическое подобие оригинала и модели.

Знаковые модели включают в себя также различные формы символьного, графического и образного отображения оригинала в модели. Образные модели не имеют предметной реализации. Образные модели, являющиеся схемой оригинала, отображают наиболее существенные (или известные) его черты и формируются в сознании человека в процессе познания объекта. Образные модели служат основой для построения символьных и математических моделей.

Для построения моделей ТС и выполнения операций над ними используются разные математические методы (дифференциальное и интегральное исчисление, математическая статистика, теория вероятности и др.). При составлении знаковых моделей математический аппарат должен обеспечивать наиболее полное выражение свойств оригинала и поэтому его выбор определяется характером и сложностью изучаемой системы.

Условия физического подобия создаются в материальных моделях, когда оригинал и модель имеют одинаковую природу и воспроизводят весь комплекс изучаемых явлений.

Основой физического моделирования является теория подобия. Она основывается на том, что объект можно заменить моделью. А полученные результаты можно переносить на объект только при одинаковых величинах некоторых критериев подобия.

Достоинства моделей, реализующих физическое подобие: наглядность, возможность воспроизведения в лабораторных условиях, не требуется математическое описание. Недостатки: высокая стоимость, невозможность отображения процессов при наличии химических и фазовых превращений, модели не обладают свойством универсальности. Для каждого нового процесса необходимо создавать новое математическое описание.

Математическое подобие

Принцип изоморфности математического описания позволяет переносить результаты, полученные при решении одного уравнения, на целый класс объектов с аналогичным описанием. Примером могут служить однотипные дифференциальные уравнения, описывающие различные по природе явления:

перенос количества движения (закон Ньютона),

перенос электричества (закон Ома),

перенос количества тепла (закон Фурье),

перенос вещества (закон Фика),

где — градиент скорости, напряжения, температуры и концентрации в направлении х;

, R, , D —вязкость, сопротивление, коэффициенты теплопроводности и диффузии.

Подобие математических описаний придает математическим моделям свойство универсальности. Если математическое описание оригинала соответствует модели, то модель в полной мере отображает существенные свойства оригинала.

Применение математических моделей

Моделирование является основой для оптимизации ТС.

Оптимизация ТС — целенаправленная деятельность, направленная на получение наилучших результатов при заданных условиях.

Критерий оптимизации является количественной оценкой эффективности функционирования объекта. Он определяет, насколько близко система находится от цели оптимизации. Цель оптимизации характеризуется целевой функцией, а критерием оптимизации может быть достижение с некоторой погрешностью минимума или максимума целевой функции.

Методы построения математических моделей

В зависимости от степени изученности объекта, от целей исследования создают такие модели:

• экспериментальные;

• экспериментально-аналитические;

• теоретические.

Перечисленные выше модели используются в научных исследованиях вместо реальных объектов – оригиналов. Для исследования свойств объектов и образуемых ими сложных систем применяется методология исследования операций, которая базируется на эксперименте и теории вероятности.

Если основные переменные процесса изменяются во времени и пространстве, то математическая модель, описывающая такой процесс, называется моделью с распределенными параметрами. Если параметры процесса изменяются только во времени, то математическая модель, описывающая такой процесс, называется моделью с сосредоточенными параметрами.

Экспериментальные модели

В общем случае модель объекта может быть представлена функциональной зависимостью: Y = f(X), где Х – входная переменная. Такой подход, когда изучается зависимость выходных параметров от величины входных переменных объекта, без описания внутренних свойств и закономерностей, называется методом «черного ящика».

Для создания экспериментальных моделей, отображающих влияние нескольких независимых параметров на выходную переменную используются методы множественной корреляции: Брандона, Лукомского, планирования эксперимента.

Достоинства экспериментальных моделей.

Простота описания, доступность, возможность построения моделей для новых объектов при отсутствии теории процесса.

Недостатки экспериментальных моделей.

Невозможность применения для иных, отличных от условий проведения эксперимента, технологических условий. Невозможность применения моделей при переходе к другим установкам

Экспериментально-аналитические модели

Этот вид моделей сочетает использование теории и экспериментальных данных. Исследователь пытается проникнуть в физическую сущность явления. Некоторое явление декомпозируется на простые составные части, которые легко исследовать либо они имеют математическое описание.

Достоинства: лучше описываются нелинейные свойства объекта, существует объяснение для обоснования формулы.

Недостатки: модель работает в интервале изменения переменных, в котором проводили эксперимент, необходимо уточнять значение эффективных коэффициентов при переходе к другому агрегату.

Теоретические модели

Модели строятся на основе теоретических представлений о процессе на основе глубокого понимания сущности процесса (рис. 3.3).

Достоинства теоретических моделей: допускают возможность широкой экстраполяции, можно изучать общие свойства объекта, позволяют декомпозировать сложный процесс на простые составляющие, позволяют изучать процесс на разных уровнях. Микроуровень – элементарные взаимодействия. Макроуровень – взаимодействие между составными частями сложного объекта. Метауровень – воздействие объекта на системы, которые являются внешними по отношению к объекту.

Недостатки. Нельзя построить модель, если не изучена теория процесса. Большие затраты времени.

Этапы создания математических моделей

Выполнение исследования с помощью математических моделей, в конечном счете, сводится к выполнению программы на ЭВМ. Составлению программы предшествует разработка алгоритма решения, который реализует метод решения. Выбор метода решения основывается на анализе и формализации условий задачи. Таким образом, в процессе подготовки задачи к выполнению на ЭВМ можно выделить ряд последовательных этапов (рис. 3.6).

Математическая постановка задачи. Точное описание исходных данных, условий задачи и целей ее решения называется математической постановкой задачи. Эту стадию разработки модели называют также этапом формализации, так как многие из условий задачи, заданные в виде различных словесных описаний, необходимо выразить языком математических формул и условий. Среди практиков распространено мнение, что выполнение формализации объекта соответствует половине всей работы по созданию модели.

Полученная на этапе формализации новая задача называется математической моделью исходной задачи.

Классификация математических моделей

Математическая модель (ММ) технического объекта – это совокупность математических объектов (чисел, переменных, матриц, множеств и т. п.) и отношений между ними, адекватно отображающих свойства технического объекта, интересующие инженера, разрабатывающего этот объект. Выполнение проектных операций и процедур в САПР основано на оперировании ММ. С их помощью прогнозируются характеристики и оцениваются возможности предложенных вариантов схем и конструкций, проверяется их соответствие предъявляемым требованиям, проводится оптимизация параметров, разрабатывается техническая документация и т.п.

В САПР для каждого иерархического уровня сформулированы основные положения математического моделирования, выбран и развит соответствующий математический аппарат, получены типовые ММ элементов проектируемых объектов, формализованы методы получения и анализа математических моделей систем. Сложность задач проектирования и противоречивость требований высокой точности, полноты и малой трудоемкости анализа обусловливают целесообразность компромиссного удовлетворения этих требований с помощью соответствующего выбора моделей. Это обстоятельство приводит к расширению множества используемых моделей и развитию алгоритмов адаптивного моделирования.

Функциональные и структурные модели.

В проектных процедурах, связанных с функциональным аспектом проектирования, как правило, используются ММ, отражающие закономерности процессов функционирования объектов. Такие модели называют функциональными. Типичная функциональная модель представляет собой систему уравнений, описывающих либо электрические, тепловые, механические процессы, либо процессы преобразования информации.

В то же время в процедурах, относящихся к конструкторскому аспекту проектирования, преобладает использование математических моделей, отражающих только структурные свойства объекта, например его геометрическую форму, размеры, взаимное расположение элементов в пространстве. Такие модели называют структурными. Структурные модели чаще всего представляются в виде графов, матриц инциденций и смежности, списков и т. п.

Как правило, функциональные модели более сложные, поскольку в них отражаются также сведения о структуре объектов. Однако при решении многих задач конструирования использование сложных функциональных моделей неоправданно, так как нужные результаты могут быть получены на основе более простых структурных моделей. Функциональные модели применяют преимущественно на завершающих этапах верификации описаний объектов, предварительно синтезированных с помощью структурных моделей.

Формы представления моделей

Для представления моделей используют следующие основные формы: Инвариантная форма – запись соотношений модели с помощью традиционного математического языка безотносительно к методу решения уравнений модели. Алгоритмическая форма – запись соотношений модели и выбранного численного метода решения в форме алгоритма.

Аналитическая форма – запись модели в виде результата аналитического решения исходных уравнений модели. Обычно модели в аналитической форме предетавляют собой явные выражения выходных параметров как функций внутренних и внешних параметров.

Схемная форма, называемая также графической формой представления модели Ha некотором графическом языке, например, на языке графов, экаивалентных схем, диаграмм и т. п. Графические формы удобны для восприятия человеком. Использование таких форм представления возможно при наличии правил однозначного истолкования элементов чертежей и нх перевода на язык инвариантных или алгоритмических форм.

Модели в алгоритмической и аналитической формах называют, соответственно, алгоритмическими и аналитическими. Среди алгоритмических моделей важный класс составляют имитационные модели, предназначенные для имитации физнческих или информационных процессов в объекте при задании различных зависимостей входных воздействий от времени. Результат имитационного моделирования – зависимости фазовых переменных в избранных злементах системы от времени. Примерами имитационных моделей являются модели электронных схем в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений или модели систем массового обслуживания, предназначенные для имитации процессов прохождения заявок через систему.

Требования к математическим моделям

Основными требованиями, предъявляемыми к математическим моделям, являются требования адекватности, универсальности и экономичности.

Адекватность. Модель считается адекватной, если отражает заданные свойства объекта с приемлемой точностью. Точность определяется как степень совпадения значений выходных параметров модели и объекта.

Универсальность. При определении OA необходимо выбрать совокупность внешних параметров и совокупность выходных параметров у_j, отражающих учитываемые в модели свойства. Типичными внешним параметрами при этом являются параметры нагрузки и внешних воздействий (электрических, механических, тепловых, радиационных и т.п.). Увеличение числа учитываемых внешних факторов расширяет применимость модели, но существенно удорожает работу пo определению ОA. Выбор совокупности выходных параметров также неоднозначен, однако для большинства объектов число и перечень учитьгваемых свойств и соответствующик им выходных параметров сравнительно невелики, достаточно стабильны и составляют типовой набор. Например, для макромоделей логических элементов БИС такими выходными параметрами являются уровни выходного напряжения в состояниях логических «0» и «I», запасы помехоустойчивости, задержка распространения сигнала, рассеиваемая мощность.

Если адекватность характеризуется положением и размерам и OA, то универсальность модели определяется числом и составом учитываемых в модели внешних и выходных параметров.

Экономичность. Экономичность модели характеризуется затратами вычислительных ресурсов для ее реализации, а именно затратами машинного времени Т_М и памяти П_м. Общие затраты Т_М и П_м на выполнение в CAПР какой-либо проектной процедуры зависят как от особенностей выбранных моделей, так и от методов решения.

В большинстве случаев при реализации численного метода происходят многократные обращения к модели элемента, входящего в состав моделируемого объекта. Тогда удобно экономичность модели элемента характеризовать затратами машинного времени, получающимися при обрашении к модели, а число обращений к модели должно учитываться при оценке экономичности метода решения.

Экономичность модели по затратам памяти оценивается объемом оперативной памяти, необходимой для реализации модели.

Требования широких областей адекватности, высокой степени универсальности, с одной стороны, и высокой экономичности, с другой, являются проrиворечивыми. Наилучшее компромиссное удовлетворение этих требований оказывается неодинаковым в различных применениях. Это обстоятельство обусловливает использование в САПР многих моделей для объектов одного и того же типа – различного рода макромоделей, многоуровневых, смешанных моделей и т. п.

Иерархия математических моделей в САПР

Деление моделей пo иерархическим уровням (уровням абстрагирования) происходит пo степени детализации описываемых свойств и процессов системы. На высшем уровне используется наименее детальное представление, отражающее только наиболее общие черты и особенности проектируемой системы. На каждом новом уровне разработки степень тщательности рассмотрения возрастает, при этом система рассматривается не целиком, а отдельными блоками. Такой подход в литературе носит название блочно-иерархичного подхода.

Блочно-иерархичный подход позволяет на каждом уровне формулировать и решать задачи определенной сложности, решение которых возможно на данном этапе проектирования.

Преимуществом такого подхода является возможность представления сложной задачи большой размерности, совокупностью более простых задач, каждая из которых будет содержать часть неизвестных. Последовательное решение простых задач даст тот же результат что и решение исходной сложной задачи. Недостатком блочно-иерархического подхода является то, что на каждом уровне рассматривается не полностью определенный объект. Так, система k-го уровня рассматривается как элемент нa соседнем более высоком (k-1)-м уровне абстрагирования, т.е. представление об объекте распределяется на уровни. При этом нa каждом иерархическом уровне используют свои понятия «система» и «элементы». Очень часто элементы низшего уровня, т.е. элементы с которых начиналось проектирование, называют базовыми элементами или компонентами.

Проектирование одного и того же объекта, в зависимости от его вида, может выполняться на различных уровнях. Например, технологическое проектирование тесно связано с конструкторским, поэтому иерархия проектирования ТП может быть аналогичное конструкторской иерархии и включать следующие уровни: детали, сборочной единицы, комплекс (зубчатое колесо, вал, шпонка – детали, входящие в состав редуктора, редуктор – сборочная единица, входящая в состав станка, станок – сборочная единица более высокого уровня – комплекса станков, конвеера). Однако чаще при проектировании ТП используют такие иерархические уровни: маршрутная технология, операционная технология, инструмент и просбособление.

Совокупность задач проектирования схем часто называют функциональным уровнем проектиования, совокупность задач проектирования устройств – конструкторским уровнем проектирования и совокупность технологических задач – технологическим уровнем проектирования.

Микро-, макро- и метауровни.

В зависимости от сложности объекта при его проектировании используют большее или меньшее число уровней абстракции. Объединение уровней, родственных no характеру используемого математического аппарата, приводит к образованию трех укрупненных уровней – микро-, макро– и метауровня – в иерархии фунициональных моделей для большинства проектируемых сложных объектов.

Ha микроуровне используют математические модели, описывающие физическое состояние и процессы в сплошных средах. Для моделирования применяют аппарат уравнений математической физики. Примерами таких уравнений служат дифференциальные уравнения в частных производных-уравнения электродинамики, теплопроводности, упругости, газовой динамики. Эти уравнения описывают поля электрического потенциала и температуры в полупроводниковых кристаллах интегральных схем, напряженно-деформированное состояние деталей игеханических конструкций и т. п. К типичным фазовым переменным нa микроуровне относятся электрические потенциалы, давления, температуры, концентрации частиц, плотности токов, механические напряжения и деформации. Независимыми переменными являются время и простраиственные координаты. Ha микроуровне анализ математических моделей свадится к решению краевых задач математической физики.

Ha макроуровне производится дискретизация пространств с выделением в качестве элементов отдельных деталей, дискретных электрорадиоэлементов, участков полупроводниковых кристаллов. При этом из числа незавнсимых переменных исключают пространственные координаты. Функциональные модели на макроуровне представляют собой системы алгебраических или обыкновениьгх дифференциальных уравнений, для их получения и решения используют соответствующие численные методы. В качеетве фазовых переменных фигурируют электрические напряжения, токи, силы, скорости, температуры, расходы и т.п. Они характеризуют проявления внешних свойств элементов при их взаимоденствии между со6ой и внешней средой в злектронных схемах или механических конструкциях.

Ha метауровне с помощью дальнейшего абстрагирования от характера физических процессов удается получить приемлемое по сложности описание информационных процессов, протекающих в проектируемых абъектах. Ha метауровне для моделирования аналоговой РЭА широко применяют аппарат анализа систем автоматического управления, а для моделирования цифровой РЭА – математическуго логику, теорию конечных автоматов, теорию массового обслуживания. Математические модели нa метауровне – системы обыкновенных дифференциальиых уравнений, системы логических уравнений, имитационные модели систем массового обслуживания.

Место процедур формирования моделей в маршрутах проектирования

Методы получения ММ

Пользователи САПР в большинстве случаев не задумываются над тем, какие же модели используются в их системе. Такие мысли возникают только том случае, когда существующее ПО перестает удовлетворять пользователя и необходимо разрабатывать что-то новое.

Получение математических моделей элементов (моделирование элементов) в общем случае – процедура неформализованная. Основные решения, касающиеся выбора вида математических соотношений, характера используемых переменных и параметров, принимает проектировщик. В то же время такие операции, как расчет численных значений параметров модели, определение областей адекватности и другие, алгоритмизированы и решаются на ЭВМ. Поэтому моделирование элементов обычно выполняется специалистами конкретных технических областей с помощью традиционных средств экспериментальных исследований и средств САПР.

Каждый объект может быть описан огромным количеством ММ, а если учесть неограниченное количество объектов проектирования, то количество возможных ММ просто невозможно представить. Однако среди бесчисленного множества ММ можно выделить конечное число уже созданных моделей (не обязательно для САПР). Можно выделить три группы источников получения таких моделей:

• Описания САПР;

• Тематические монографии;

• Обще-инженерная литература.

Если ни одна из существующих в источниках модель не удовлетворяет требованиям клиента, то для описание объекта необходимо создать собственную. К таким моделям, кроме всех прочих требований предъявляют еще и такие:

• формализация систем уравнений – для автоматизации решения систем на ЭВМ

• ММ должна минимально затрачивать вычислительные ресурсы при моделировании и проведении расчетов

• ММ должна быть достаточно универсальной

В общем случае процедура получения ММ элементов включает операции:

• выбор свойств объекта, которые должны быть отражены в ММ

• выбор начальных условий и начальной информации об объектах

• синтез структуры мМ

• вычисление числовых значений параметров ММ

• оценка точности и адекватности

Порядок разработки ММ объекта как системы:

• выбор элементов объекта проектирования

• установление отношений между элементами

• группировка элементов и отношений

• выбор класса типовых ММ

• разработка ММ

Методы получения функциональных моделей элементов делят на теоретические и экспериментальные.

Теоретические методы основаны на изучении физических закономерностей протекающих в объекте процессов, определении соответствующего этим закономерностям математического описания, обосновании и принятии упрощающих предположений, выполнении необходимых выкладок и приведении результата к принятой форме представления модели.

Экспериментальные методы основаны на использовании внешних проявлений свойств объекта, фиксируемых во время эксплуатации однотипных объектов или при проведении целенаправленных экспериментов.

Несмотря на эвристический характер многих операций моделирования, имеется ряд положений и приемов, общих для получения моделей различных объектов.