МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ

СУМСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

кафедра інформатики

Курсова робота

з дисципліни "ПРОГРАМУВАННЯ"

"Чисельні методи, обчислення рішень СЛАУ методом Жордана-Гаусса"

Виконав студент гр. ПМ-91

Павленко М. С.

Перевірив викладач

Боровик В. О.

Суми, 2010

1. Постановка задачі

Написати програму для обчислення СЛАУ методом Йордана-Гаусса

1. Загальні відомості про слау

Нехай дано систему п лінійних алгебраїчних рівнянь з п змінними

(I=1.2…..n)

Систему можна записати у вигляді одного матричного рівняння

AX=B, (2)

де

матриця коефіцієнтів (індекс і вказує рівняння, якому належить коефіцієнт, а індекс j – змінну, при якій він стоїть),

,

відповідно стовпець вільних членів і стовпець змінних.

Упорядкована сукупність n чисел , яка, будучи підставленою в систему (1) замість , перетворює всі рівняння в правильні числові рівності, називається розв’язком системи . Методи розв’язування систем лінійних рівнянь можна поділити на дві групи: точні й ітераційні.

Точними називають такі методи, які дають змогу знайти точний розв’язок системи за допомогою виконання скінченої кількості арифметичних операцій у припущенні, що всі обчислення виконуються точно (без округлень), а коефіцієнти системи і вільні члени – точні числа. Але на практиці всі обчислення виконуються з обмеженою кількістю десяткових розрядів, а ірраціональні коефіцієнти і вільні члени, якщо такі є, замінюються раціональними числами. Тому в процесі обчислення вдаються до округлень, а це означає, що розв’язки, які обчислюються за точними методами, фактично є наближеними числами з певними похибками (похибками округлень). До точних належать метод Гаусса, метод квадратних коренів, правило Крамера, сюди ж належить метод Жордана-Гаусса.

Інтераційними називають такі методи, які дають змогу знайти наближений розв’язок системи із заздалегідь вказаною точністю шляхом виконання скінченої кількості арифметичних операцій, хоч самі обчислення можуть проводитись і без округлень, а коефіцієнти і вільні члени системи бути точними числами.

У процесі вивчення різних питань економіки, природознавства, техніки тощо доводиться розв’язувати системи алгебраїчних рівнянь. Зокрема, до таких систем зводиться чисельне розв’язування лінійних, диференціальних та інтегральних рівнянь. У таких системах є коефіцієнти і вільні члени рівнянь – числа наближені. А це веде до появи додаткових (так званих неусуваних) похибок.

Якщо систему рівнянь у пам’яті машини записати навіть точно, то в процесі її розв’язування ЕОМ обов’язково виникнуть похибки округлень, які не можуть не вплинути на точність розв’язку.

1. Методи розв’язування задачі

Метод Жордана-Гаусса був розроблений двома вченими Жорданом та Гаусом (від яких і пішла назва методу). Цей метод вони помітили після довгої практики роботи з системами рівнянь. Це можна пояснити складністю розв’язку цим методом. Метод Жордана-Гаусса (або метод послідовного виключення невідомих) застосовний для розв’язання систем лінійних рівнянь, в яких число невідомих може бути або рівно числу рівнянь, або відмінно від нього.

Система n лінійних рівнянь з п невідомими має вигляд:

x1, x2., xn – невідомі.

ai _j - коефіцієнти при невідомих.

bi - вільні члени (або праві частини)

Система лінійних рівнянь називається сумісною, якщо вона має розв’язок, і несумісною, якщо вона не має розв’язків.

Сумісна система називається визначеною, якщо вона має єдине розв’язок і невизначеною, якщо вона має незліченну безліч розв’язків.

Дві сумісні системи називаються рівносильними, якщо вони мають одну і ту ж множину розв’язків.

До елементарних перетворень системи віднесемо наступні:

1. зміна місцями два будь-яких рівнянь;

2. множення обох частин будь-якого з рівнянь на довільне число, відмінне від нуля;

3. збільшення до обох частин одного з рівнянь системи відповідних частин іншого рівняння, помножених на будь-яке дійсне число.

Елементарні перетворення переводять систему рівнянь в рівносильну їй.

Для простоти розглянемо метод Жордана-Гаусса для системи трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими у разі, коли існує єдиний розв’язок:

Дана система:

На першому кроці виключимо невідоме х₁ зі всіх рівнянь системи, окрім першого. Хай коефіцієнт a[1][1] не рівний 0. Назвемо його провідним елементом. Розділимо перше рівняння системи на а[1][1]. Виключимо х[1] з другого і третього рівнянь системи . Для цього віднімемо з них рівняння , помножене на коефіцієнт при х[1] (відповідно а[2][1] і а[3][1]).

На другому кроці виключимо невідоме х[2] з рівнянь системи .

Виберемо коефіцієнт а[2][2] за провідний елемент і розділимо на нього друге рівняння системи. Помножимо це рівняння на коефіцієнти а[1][2] та a[3][2] і віднімаємо його від першого та третього рівняння.

Аналогічно робимо з наступним (3-тім) рівнянням, виключаючи x[3] з і першого та другого рівнянь.

В кінці цих перетворень система буде мати такий вігдял:

x[1]=a

x[2]=b

x[3]=c

Якщо в ході перетворень системи виходить суперечливе рівняння вигляду 0 = b, де b  0, то це означає, що система несумісна і розв’язків не має.