Алгебры с одной бинарной алгебраической операцией
Это – полугруппы, моноиды, группы. Пусть А ≠ Æ.
def. Множество с заданной на нем одной ассоциативной бинарной операцией называется полугруппой.
def. Полугруппа с нейтральным элементом называется моноидом.
def. Если заданная бинарная операция еще и коммутативна, то полугруппа, или моноид, называется коммутативной (абелевой).
Итак, в полугруппе может не существовать обратный элемент и даже нейтральный элемент. В моноиде обязательно есть нейтральный элемент, но может не быть обратного.
def.
Алгебра
А
=
< А,
>
называется группой,
если она есть моноид, в котором каждый
элемент обратим.
53. Алгебр структуры. Алгебры с двумя бинарной алгебраической операцией
def. Алгебра А = < А, +,∙ > называется ассоциативным кольцом с единицей (или кратко кольцом), если выполняются следующие условия:
1.Алгебра < A,+ > - коммутативная (абелева) аддитивная группа;
2.Алгебра < A, ∙ > - мультипликативный моноид;
3.Операция умножение дистрибутивна относительно сложения, то есть
a.
def.
Кольцо
А
=
< А,
+,∙ > называется коммутативным, если
операция умножения коммутативна: 
.
Алгебра < Z,+,∙ > - коммутативное кольцо.
def. Коммутативное кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент обладает обратным относительно операции умножения, называется полем.
54. Алгебры с 1 и двумя бинарной алгебраической операцией
I. Это – полугруппы, моноиды, группы. Пусть А ≠ Æ.
def. Множество с заданной на нем одной ассоциативной бинарной операцией называется полугруппой.
def. Полугруппа с нейтральным элементом называется моноидом.
def. Если заданная бинарная операция еще и коммутативна, то полугруппа, или моноид, называется коммутативной (абелевой).
Итак, в полугруппе может не существовать обратный элемент и даже нейтральный элемент. В моноиде обязательно есть нейтральный элемент, но может не быть обратного.
def.
Алгебра
А
=
< А,
>
называется группой,
если она есть моноид, в котором каждый
элемент обратим.
II. def. Алгебра А = < А, +,∙ > называется ассоциативным кольцом с единицей (или кратко кольцом), если выполняются следующие условия:
1.Алгебра < A,+ > - коммутативная (абелева) аддитивная группа;
2.Алгебра < A, ∙ > - мультипликативный моноид;
3.Операция умножение дистрибутивна относительно сложения, то есть
a.
def.
Кольцо
А
=
< А,
+,∙ > называется коммутативным, если
операция умножения коммутативна: 
.
Алгебра < Z,+,∙ > - коммутативное кольцо.
def. Коммутативное кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент обладает обратным относительно операции умножения, называется полем.
55. Конечные поля
Наряду с бесконечными полями имеются конечные поля, Конечные поля играют центральную роль в криптографии в математических моделях микромира. Определим сравнимость целых чисел по модулю m.
def.
Пусть
Z
– множество целых чисел. Назовем два
числа x
и y
из Z
сравнимыми по модулю m
(m
)
и запишем xºy(mod
m),
если равны остатки этих чисел от деления
на m,
то есть разность (x-y)
делится на m.
Отношение “сравнимых по модулю m целых чисел” есть отношение эквивалентности на множестве целых чисел Z, т.к отношение 1.рефлексивно, 2.транзитивно,
3.
симметрично
Отношение эквивалентности º
определяет разбиение множества Z
на m
подмножеств – классов эквивалентности,
.
Обозначим фактор – множество 
через
def.
Введем
на 
=
операции следующим образом:
+
=
–
сложение; 
∙
=
- умножение.
если х1º х (mod m), y1ºy (mod y), то
х1+у1
º
(х+у) (mod
m)
и x1∙y1
º
x
y
(mod
m).
Далее
<
,+,∙
> есть коммутативное кольцо. Тогда
имеем 
∙
=
∙
=
для 
Кольцо Zm называется кольцом вычетов по модулю m. Теорема. Кольцо Zm является полем тогда и только тогда, когда m - простое число.