6. Потенциальные внешние силы

При рассмотрении закона преобразования энергии в процессе квазистатического деформирования идеально упругого тела величины внешних нагрузок предполагались независящими от геометрических изменений тела и определялись как функции некоторого параметра нагружения t (например, времени). Было показано, что при смене состояний равновесия, происходящих в результате приращений параметра нагружения dt, приращение потенциальной энергии упругой деформации тела dU равно приращению работы внешних нагрузок dA:

Если ввести величину П, подчиненную условию , тогда последнее соотношение можно представить в виде

Величина П называется потенциальной энергией внешних нагрузок. Сумма потенциальных энергий упругой деформации и внешних сил

называется полной потенциальной энергией системы.

В рассматриваемом случае полная потенциальная энергия неизменна в процессе нагружения , то есть система является консервативной.

Внутренние силы упругого взаимодействия являются потенциальными (потенциалом является плотность потенциальной энергии упругой деформации ). Работа, совершаемая этими силами при деформировании (энергия деформации), не зависит от истории деформирования и определяется их актуальным распределением на каждом этапе нагружения. С другой стороны, внутренние силы однозначно определяются (теорема Кирхгофа) действующими внешними нагрузками. Необходимость анализа промежуточных этапов нагружения отсутствует, и задачи теории упругости формулируются для конечных равновесных конфигураций: внешние нагрузки – характеристики механического состояния.

В этой связи удобно определять работу заданной системы внешних нагрузок , вычисляя ее на конечном распределении перемещений по формуле

Очевидно, что при нагрузках, независимых от характеристик механического состояния («мертвых силах»), работа внешних сил является линейной формой перемещений, и ее величина определяется конечным распределением перемещений. Нагружение можно считать потенциальным с силовыми функциями (потенциалами) и потенциальной энергией

Полная потенциальная энергия системы при этом представляется выражением

Консервативность также имеет место, когда линейно упругое тело находится во взаимодействии с потенциальным силовым полем, например, гравитационным (полем сил тяготения). Работа, совершаемая при изменении пространственного положения материальной точки (элементарного объема) в потенциальном поле на величину , определяется приращением некоторой функции координат , называемой потенциалом силового поля

где - силы, действующие на элементарный объем.

Величина работы в потенциальном поле не зависит от пути перемещения материальной точки и определяется только значениями потенциала в начальной и конечной точке траектории. Интеграл

не зависит от пути интегрирования, следовательно, подинтегральное выражение представляет собой полный дифференциал, и справедливо соотношение

При этом, силы являются функциями координат , но независимы от их приращений .

Например, для поля сил тяготения, действующих в направлении оси в сплошной среде, потенциал имеет вид

где - плотность, – ускорение свободного падения. На элементарный материальный объем со стороны поля действуют силы Величины имеют смысл удельных характеристик (отнесенных к единице объема тела).

При деформировании , поэтому для удельной работы , совершаемой на конечном перемещении элементарного объема из натурального состояния в потенциальном силовом поле, будут справедливы соотношения

Предполагая в начальном состоянии получим

-

при этом для тела объема V потенциальную энергию внешних сил определим выражениями

Таким образом, для системы идеально упругое тело – потенциальное силовое поле может быть введена полная потенциальная энергия системы

причем в любой равновесной конфигурации эта величина может быть определена по формуле