14. Свойства приближенных решений по методу Ритца на основе принципа Лагранжа
Рассмотрим
линейно упругое тело, находящееся в
состоянии равновесия под действием
сосредоточенной внешней нагрузки
Пусть
- перемещение в направлении действия
силы
Работа,
совершенная внешней нагрузкой на
перемещении
,
определяется выражением
В
состоянии равновесия справедлива
теорема Клапейрона, соответствии с
которой
где
- потенциальная энергия упругой деформации
тела.
Полная
потенциальная энергия системы
в состоянии равновесия выражается
соотношением
и имеет абсолютный минимум на множестве кинематически допустимых состояний.
Допустим,
что получено некоторое приближенное
решение по методу Ритца на основе
вариационного принципа Лагранжа. Это
значит, что решение получено при
минимизации полной потенциальной
энергии на кинематически возможном
подмножестве состояний, определяемом
заданными базисными функциями. Перемещение
в направлении действия силы
находится при этом приближенно, обозначим
эту величину
Для
конечномерной проекции исходной
континуальной задачи в точке минимума
полной энергии
также будет справедлива теорема
Клапейрона
а ее величина определяется соотношением
Так
как действительное состояние равновесия
сообщает полной энргии абсолютный
минимум, то
и следуют
неравенства:
Приближенное решение по методу Ритца на основе принципа Лагранжа является оценкой снизу по перемещениям в направлении действия нагрузок и величинам работы внешних сил и энергии деформации тела. Механическая модель, используемая при получении приближенного решения, является более «жесткой» по отношению к исходной континуальной модели.
15. Свойства приближенных решений по методу Ритца на основе принципа Кастильяно
Проведем анализ, подобный вышеизложенному, для случая применения метода Ритца на основе вариационного принципа Кастильяно, согласно которому действительное состояние равновесия соответствует минимуму дополнительной энергии системы на множестве статически допустимых состояний. Для упрощения будем предполагать кинематические условия задачи однородными
При этом дополнительная энергия для действительного состояния равновесия и приближенного решения определяются величинами потенциальной энергии упругой деформации
Вследствие справедливости теоремы Клапейрона:
Так
как величина
определяется в процессе минимизации
дополнительной энергии лишь на
подмножестве статически возможных
состояний, образованном заданной
системой базисных функций,
Отсюда следуют неравенства
Приближенное решение по методу Ритца на основе принципа Кастильяно является оценкой сверху по перемещениям в направлении действия нагрузок и величинам работы внешних сил и энергии деформации тела. Механическая модель, используемая при получении приближенного решения, является более «податливой» по отношению к исходной континуальной модели.