10. Реалізація булевих функції схемами з функціональних елементів.

Булеві функції широко застосовуються при описі роботи дискретних пристроїв, при дослідженні деяких електричних ланцюгів, перемикальних схем тощо.

Нехай є деякий пристрій дискретної дії, внутрішня структура якого нас не цікавить, але про який відомо, що він має впорядкованих входів, які занумеровані числами від 1 до і вихідів, які занумеровані числами від 1 до . На кожний з входів можуть подаватися сигнали (не обов’язково електричні), і при кожному наборі сигналів на входах на виходах також з’являються сигнали. Будемо вважати, що сигнали можуть мати два різні рівні, кожному з яких припишемо символ 0 або 1, причому набір сигналів на входах однозначно визначає набір сигналів на виходах. Такий пристрій називається функціональним елементом.

Графічно такий пристрій зображається у вигляді -полюсника:

… …

Ми детально розглянемо випадок -полюсника:

… …

який є графічним зображенням функціонального елемента з входами і одним виходом.

Функціональні елементи та їх композиції називаються схемами з функціональних елементів. Ні в яких двох функціональних елементів схеми виходи не з’єднані і ні в якого функціонального елемента немає зворотного зв’язку, тобто ніякий вхід функціонального елемента не з’єднаний з його виходом навіть через ланцюжок інших функціональних елементів.

Схеми з функціональних елементів будуються за наступними правилами:

1. Об’єднання двох схем з функціональних елементів є схема, входи і виходи якої є входами і виходами схем, що об’єднуються.

2. Результат ототожнення будь-яких двох входів схеми є схема, вихід якої збігається з виходом початкової схеми, а входами є входи початкової схеми крім одного з ототожнених

...

3. Результат ототожнення виходу однієї схеми з входом іншої є схема, входами якої є входи першої схеми і входи другої, які не ототожнювались з виходом першої, виходом є вихід другої схеми:

4. Результат розгалуження виходу схеми є схема, входами якої є входи початкової схеми, і два виходи, які виникли з виходу початкової схеми:

Означення. Базисом з функціональних елементів називається такій набір функціональних елементів, за допомогою якого можна побудувати будь-яку схему.

Приклад базиса з функціональних елементів:

&

- кон’юнктор

Значення на виході 1 тоді і тільки тоді, коли всі входи 1.

V

- диз’юнктор

Значення на виході 0 тоді і тільки тоді, коли всі входи 0.

-

_

інвертор

Перетворює 0 на вході в 1 на виході і навпаки.

11. Аналіз і функціонування схеми з функціональних елементів.

Поставимо у відповідність кожному функціональному елементу булеву функцію наступним чином: кожному входу відповідає булева змінна , і кожному двійковому набору значень цих змінних відповідає величина , яка набуває значення 0 або 1, в залежності від того, який сигнал з’являється на виході при поданні цього набору на входи функціонального елемента. Функціональний елемент цілком характеризується булевою функцією від аргументів, де - кількість входів функціонального елемента. Виявляється, що для будь-якої булевої функції можна побудувати функціональний елемент, який є її технічною реалізацією.

Під аналізом схеми будемо розуміти знаходження функцій, які реалізуються даною схемою.

Нехай задані алфавіти змінних і . Припишемо входам і виходам схеми з функціональних елементів різні букви з алфавітів і . Таку схему будемо позначати як .

Зіставимо схемі систему рівнянь алгебри логіки:

(1)

яка визначається системою булевих функцій, які входять в праві частини рівнянь системи. Кожна булева функція характеризує функціональний елемент схеми.

Повна система булевих функцій, яка використовується для побудови схем в деякій задачі відповідає базису з функціональних елементів.

Надалі будемо використовувати стандартні позначення для булевих функцій , що найбільш часто зустрічаються.

Приклад. Інвертор характеризується булевою функцією запереченням:

_

Кон’юнктор характеризується булевою функцією кон’юнкцією

Диз’юнктор характеризується булевою функцією диз’юнкцією:

Функціонування схеми з функціональних елементів можна описати наступним чином:

Схема - це з’єднання функціональних елементів . Кожний функціональний елемент схеми є елементарним перетворювачем, який перетворює вхідний набір з нулів і одиниць в вихідне значення . В такому випадку, якщо на входи схеми подати набір , то, просуваючись від входів до виходів, він буде переходити в набір , який характеризує стани виходів. Виявляється, що

(1)

тобто перетворення, що описується рівняннями (1) відповідає нашому інтуїтивному уявленню про функціонування схеми з функціональних елементів.

І

_

снує добре розроблена техніка для обчислення значень булевих функцій, які відповідають схемі з функціональних елементів: це складання таблиць комбінацій з функціональних елементів. Для кожної з різних вхідних комбінацій схеми з входами в таблиці вказується значення виходу для схеми.

Приклад. Розглянемо схему:

&

V

Для цієї схеми маємо систему з одного рівняння:

Функціонування даної схеми описує наступна таблиця комбінацій функціональних елементів:

0	0	0	0	0	1
0	0	1	0	1	0
0	1	0	0	0	1
0	1	1	0	1	0
1	0	0	0	0	1
1	0	1	0	1	0
1	1	0	1	1	0
1	1	1	1	1	0