Министерство образования Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Санкт-Петербургский государственный горный институт им. Г.В.Плеханова

(технический университет)

Сборник задач

по теоретической механике

Допущено Учебно-методическим объединением по образованию в области прикладной геологии Министерства образования РФ в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений по горно-геологическим специальностям

Санкт-Петербург

2004

УДК 531.8 (075.80)

ББК  22.21

          С232

Авторы:

Л.К.Горшков, Р.Ф.Нагаев, М.М.Ветюков,

В.Н.Монахов, М.Ю.Платовских

Представлены задачи по всем разделам курса «Теоретическая механика», связанные с основными направлениями горно-геологического производства: бурение, инженерная геология, горно-буровые машины, проходка горных выработок и т.п. Разделы сборника открываются теоретическими пояснениями и примерами решения типовых задач, все предлагаемые задачи снабжены ответами, что облегчает пользование сборником задач.

Сборник задач предназначен для бакалавров и студентов горно-геологических и других специальностей и может быть полезен магистрам соответствующих направлений подготовки.

Научный редактор проф. Л.К.Горшков

Рецензенты: кафедра «Механика и процессы управления» Санкт-Петербургского государственного политехнического университета; доктор тех. наук А.И.Осецкий (ВИТР).

С232	Сборник задач по теоретической механике: Учеб. пособие / Л.К.Горшков, Р.Ф.Нагаев, М.М.Ветюков, В.Н.Монахов, М.Ю.Платовских. Санкт-Петербургский государственный горный институт (технический университет). СПб, 2004. 123 с.

ISBN 5-94211-237-1

УДК 531.8 (075.80)

ББК 22.21

ISBN 5-94211-237-1

  Санкт-Петербургский горный институт им. Г.В.Плеханова, 2004 г.

1. Статика

1.1. Равновесие сходящихся сил

Системой сходящихся сил называется система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке. Условия равновесия сходящихся сил имеют вид

где X и Y – суммы проекций всех сил на оси x и y соответственно.

Пример 1.1. Груз весом 300 Н (рис.1.1) удерживается в равновесии при помощи троса, перекинутого через идеальный блок А и закрепленного неподвижно в точке D. Найти усилия в невесомых стержнях АВ и АС, если крепления в точках А, В и С шарнирные. Размерами блока пренебречь.

Решение. К блоку А приложены сила Р – вес груза, реакции S_В и S_С стержней АВ и АС, а также реакция Р₁ части троса АD. Трение в блоке отсутствует, поэтому Р₁ = Р. Реакции S_В и S_С направим по стержням от блока.

Линии действия сил Р, Р₁, S_В и S_С пересекаются в точке А. Поэтому можно составить два уравнения равновесия в проекциях на оси координат. Эти оси можно выбрать по своему усмотрению, стремясь к тому, чтобы уравнения были бы как можно проще. В рассматриваемой задаче целесообразно направить одну из осей, например Аy, по стержню АС. Тогда уравнение равновесия в проекциях на другую ось будет содержать только одну неизвестную.

В нашем случае уравнения равновесия имеют вид:

X_i = P cos 60– P₁ – S_В cos 60 = 0;

Y_i = –S_C – S_В cos 30 – P cos 30 = 0.

В результате вычислений получим S_В = –173 Н, S_C = –110 Н. Знак минус говорит о том, что направление их было первоначально выбрано неверно. На самом деле реакции S_В и S_С направлены к блоку.

Задача 1.1. Определить дав­ление тела M на крышку стола АВ (рис.1.2), если масса тела М = 70 кг и на тело, кроме силы тяжести, действует еще сила P = 500 Н под углом  = 40.

Ответ: 0,37 кН.

Задача 1.2. Три силы, приложенные в одной точке тела, находятся в равновесии; их численные значения относятся между собой как . Определить углы между силами.

Ответ: 120; 135; 105.

Задача 1.3. Тяжелый шарик В привязан за конец нити АВ, прикрепленный к неподвижной точке А (рис.1.3). Его отклоняют от вертикального положения горизонтальной силой F. Определить угол отклонения , а также натяжение нити Т, если вес шарика Р.

Ответ: ; .

Задача 1.4. К середине веревки, прикрепленной к неподвижным точкам А и В, находящимся на одной горизонтальной прямой, подвешен груз массой 54 кг. Угол, образуемый при этом обеими частями веревки, равен 120. Найти натяжение веревки близ точек А и В.

Ответ: 540 Н.

Задача 1.5. Нить АВСD укреплена в точке А и перекинута в точке С через блок (рис.1.4). В точке В на нить действует сила Р, линия действия которой делит прямую АС пополам. Эта сила уравновешивается силой Q, приложенной к точке D. Определить связь между численными значениями сил Р и Q, а также натяжения Т_А и Т_С обеих половин троса, если АВ = ВС = а, АС = 2b.

Ответ: ; Т_А = Т_С = Q.

Задача 1.6. Кронштейн состоит из двух брусьев АО = а и ВО = b, соединенных шарниром и прикрепленных шарнирами к вертикальной стене (рис.1.5). Расстояние между шарнирами АВ = с. Определить усилия в стержнях а и b, если кронштейн поддерживает груз весом Р.

Ответ: ; .

Задача 1.7. К потолку комнаты в точках А и В при помощи шарниров прикреплены два стержня одинаковой длины а, равной расстоянию АВ (рис.1.6). В точке С стержни соединены шарниром. Такие же два стержня ВD и CD соединены при помощи шарниров В, С и D между собой. Найти усилия во всех стержнях, если в точке D прикреплен груз весом Р.

Ответ: ; ; ; .

З адача 1.8. Определить силу Т, поддерживающую в равновесии однородный брус АВ весом Р, опирающийся на горизонтальную и наклонную плоскости в заданном положении (рис.1.7), если АВС = 25, АСВ = 115.

Ответ: Т = 0,32Р.

Задача 1.9. Два груза весом P и Q действуют на нить, перекинутую через блок С. Груз Q висит свободно, а груз P опирается на плоскость, образующую с горизонтом угол  (рис.1.8). Вся система находится в равновесии. Определить угол , который образует прямая ВС с наклонной плоскостью, и давление N груза Р на плоскость.

Ответ: ; N = .

Задача 1.10. Тело весом P находится в покое на негладкой наклонной плоскости (рис.1.9). Кроме веса Р, на нее действует горизонтальная сила . Определить угол наклона плоскости к горизонту, если коэффициент трения равен f.

Ответ: .

Задача 1.11. Груз весом 100 Н висит на тросе, закрепленном в точке D и перекинутом через блок А (рис.1.10), АВ и АС – невесомые стержни с шарнирами на концах. Найти усилия в стержнях. Трением на блоке пренебречь.

Ответ:  = 45;  = 60;  = 120.