- •Глава 1. Элементы линейной алгебры
- •1.1. Понятие линейного пространства
- •Единственность нулевого вектора
- •Единственность противоположного вектора
- •Результат умножения на нуль
- •Результат умножения на
- •Результат умножения произвольного числа на нулевой вектор
- •1.2. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Базис и размерность.
- •1.3. Подпространства и линейные оболочки
- •1.4. Преобразования базисов
- •1.5. Вещественное евклидово пространство
- •1.6. Ортогональные системы векторов
- •1.7. Линейные операторы
- •1.8. Алгебра линейных операторов.
- •1.9. Матрица линейного оператора
- •1.10. Ортогональное дополнение
- •1.11. Собственные векторы и собственные числа линейного оператора.
- •1.12. Линейные формы
- •1.13. Билинейные и квадратичные формы
- •1.14. Сопряженный оператор. Самосопряженность
- •1.15. Ортогональные матрицы и ортогональные преобразования
- •1.16. Квадратичные формы в евклидовых пространствах. Закон инерции
- •1.17.Знакоопределенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра.
- •1.18. Гиперповерхности второго порядка
- •1.19. Норма линейного оператора
1.5. Вещественное евклидово пространство
Определение 1.5 Вещественное линейное пространство называется вещественным евклидовым пространством, если в нем определена операция скалярного умножения векторов, сопоставляющая любой паре векторов вещественное число, называемое скалярным произведением на и обозначаемое, так, что выполняются следующие тождества:
(коммутативность скалярного умножения);
(дистрибутивность скалярного умножения относительно сложения векторов);
-
(для любого вещественного );
-
, причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда .
В дальнейшем мы будем рассматривать только вещественное евклидово пространство, называя его просто евклидовым пространством.
Докажем некоторые следствия из определения евклидова пространства.
Действительно, .
Имеем:
-
Неравенство Коши-Буняковского:
Вычислим для произвольного вещественного следующее произведение:
Рассматривая последнее выражение как утверждение о неотрицательности квадратного трехчлена от , получим, что дискриминант неположителен:
В евклидовом пространстве введем понятие нормы вектора , обозначаемой . По определению
С использованием нормы неравенство Коши-Буняковского перепишется так:
Норма вектора обладает также следующими свойствами:
-
, причем равенство имеет место только для нулевого вектора.
-
-
(неравенство треугольника)
Последнее неравенство представляет собой аналог (и обобщение) известного из школьной геометрии свойства сторон треугольника, поскольку - как нетрудно понять - норма геометрического вектора - это его длина.
С помощью нормы мы можем ввести понятие расстояния между векторами евклидова пространства: по определению
Легко могут быть доказаны следующие свойства расстояния:
-
, причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда ;
-
-
для любых трех векторов
(это неравенство также называется неравенством треугольника).
Примеры. 1) В пространстве геометрических векторов скалярное умножение вводится обычным образом:
, где- угол между векторами и .
Все свойства (1)-(4) легко проверяются.
-
В арифметическом векторном пространстве скалярное произведение векторов и вводится формулой:
Доказательство свойств предоставляется читателю.
-
В пространстве функций, непрерывных на отрезке, определим скалярное произведение векторов (функций) следующим образом:
Все свойства скалярного произведения в данном случае легко получаются из известных свойств определенного интеграла. В частности, последнее свойство (неотрицательность скалярного произведения вектора на себя) следует из того, что интеграл от неотрицательной функции неотрицателен).
Интересны в этом пространстве выражение для нормы и вид неравенства Коши-Буняковского:
Последнее неравенство часто используется для оценки определенных интегралов.
Расстояние между функциями в вычисляется как корень квадратный от интеграла от квадрата разности функций:
Сам стоящий под корнем интеграл называется среднеквадратическим отклонением между функциями и .