15

Теория функций комплексного переменного.

Рассмотрим комплексную плоскость. Введем новую точку z = ∞ (бесконечно удаленная точка).

Бесконечно удаленной точкой называется предел любой последовательности комплексных чисел z₁, z₂, …z_n,…, если

z = ∞ → O₁. Множество точек комплексной плоскости, дополненной бесконечно удаленной точкой, называется расширенной комплексной плоскостью.

Областью называется открытое множество точек расширенной комплексной плоскости, ограниченное линиями, если любые две точки этого множества можно соединить непрерывной кривой, целиком принадлежащей этому множеству.

Область является открытым множеством, т.е. точки границы не принадлежат этому множеству.

1. Im z > 0. ( z = x + i y , x = Re z, y = Im z) 2. |z| < 1.

y z y

x

x

Не область. Граница области может представлять собой

одну или несколько замкнутых линий.

Число не связанных друг с другом частей, из

Zz которых состоит граница области,

называется порядком связности этой

области.

.

односвязная трехсвязная

Положительным направлением обхода границы области называется такое направление, когда область остается все время слева.

Рассмотрим два множества комплексных чисел (Е) и (ε).

v y (E) (ε)

x u

На множестве (Е) задана функция комплексного переменного W = f(z), если каждой точке z ставится в соответствие одна или несколько точек W.

Положим z = x + iy . Тогда w = f(z) = f(x + iy) = u(x,y) + i v(x,y). Задание функции комплексного переменного f(z) эквивалентно заданию двух функций u(x,y) и v(x,y) действительных аргументов x и у.

Функция w = f(z) определяет отображение множества (Е) на множество (ε).

П р и м е р . W = z². z = ρ(cos φ + i sin φ), w = ρ²(cos 2φ + i sin 2φ)

y v

areg w =2φ₀

arg z = φ₀ (z) (W)

φ₀ 2φ₀

x u

Точки, лежащие на луче arg z = φ₀, перейдут в точки, лежащие на луче arg W = 2φ₀. Функция отобразит полуплоскость 0 < φ < π на плоскости (z) на всю плоскость (W) с выброшенным лучом arg W = 0 (на плоскости (W) с разрезом вдоль положительной действительной оси).

y v

(z) 0 < arg z < 2π

0 < arg z < π

x u