ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Московский технический университет связи и информатики

Волго-Вятский филиал.

Кафедра математических и естественнонаучных дисциплин

Лекции по предмету Теория вероятности и математическая статистика Раздел «Случайные события»

Выполнила Самойлова Е.А.

Принял Западаев И.И.

Нижний Новгород

2012 г.

Случайные события

Опыт – это наблюдение какого-либо явления при выполнении некоторого комплекса условий и действий, которые должны каждый раз строго выполняться при повторении данного опыта.

Характеристика опыта состоит в регистрации какого-либо факта, т.е. в определении того, обладает результат опыта каким-либо свойством или нет. Любой такой факт называется событием, при этом говорят, что событие появилось (не появилось) в результате опыта.

- учитываемые условия;

- неучитываемые условия.

, причины:

1) очень большое их количество;

2) механизм действия ряда условий неизвестен

Достоверным (D)	Называется событие, которое	Заведомо произойдет	Если будут осуществляться совокупность условий и действий S
Невозможным		Заведомо не произойдет
Случайным (А,В, С…)		Может произойти (не)

Предметом теории вероятности является изучение закономерностей массовых однородных случайных событий.

События называются несовместными, если появление 1-го из них исключает появление других в одном и том же испытании.

События называются независимыми, если появление 1-го из них никак не сказывается на появлении другого.

- события А и В независимые

- события А и В зависимые

- несовместные события

События образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них.

Множество несовместных событий, образующих полную группу, называется множеством элементарных событий, а каждое событие называется элементарным.

Множество элементарных событий – Ω

Элементарное событие – ω.

(1) Пример: рассмотрим схему испытания: урна с 6 шарами (игральная кость)

Ω = { ω₁, ω₂, ω₃, ω₄, ω₅, ω₆}

А – событие, заключающееся в том, что (СЗТЧ) в результате испытания появится шар с четным номером.

Ω_А = { ω₂, ω₄, ω₆}.

В – событие, заключающееся в том, что в результате испытания появится шар с номером > 4.

Ω_В = { ω₅, ω₆}

Ω_D = Ω

Ω =ø

Операции над событиями

1. Суммой событий А и В называется событие (А+В), состоящее из элементарных событий, принадлежащих А – Ω_А или В – Ω_В (состоит в появлении события А или события В).

(А+В) : Ω_(А+В) = Ω_А Ω_В

а) Пусть В = D, тогда:

Ω _(А+D) = Ω_А Ω_D = Ω_А Ω = Ω = Ω_D

А+D = D

б) Пусть В = , тогда

Ω _{(А+ )} = Ω_А Ω = Ω_А Ø = Ω_А

А+ = А

Пример:

Ω_(А+В) = { ω₂, ω₄, ω₆} { ω₅, ω₆}={ω₂, ω₄, ω₅, ω₆}

2. Произведением событий А и В называется событие (А*В), состоящее из элементарных событий, принадлежащих и А, и В – Ω_А и Ω_В (состоит в появления как события А, так и события В):

(А*В) : Ω_(А*В) = Ω_А Ω_В

а) Пусть В = D, тогда:

Ω _(А*D) = Ω_А Ω_D = Ω_А Ω = Ω_А

А*D = А

б) Пусть В = , тогда

Ω _{(А* )} = Ω_А Ω = Ω_А Ø = Ø = Ω

А+ =

Пример: исходные данные из примера 1.

Ω_(А*В) = { ω₂, ω₄, ω₆} { ω₅, ω₆}={ ω₆}

3. Разностью событий А и В называется событие (А-В), состоящее из элементарных событий, принадлежащих событию А: Ω_А и не принадлежащих событию В: Ω_В (состоящее в появления события А и в не появлении события В):

(А-В) : Ω_(А-В) = Ω_А/Ω_В

А = D : = D - В;

- противоположное событию В.

Свойства противоположных событий:

1. Сумма противоположных событий является достоверным событием:

В+ = D

2. Произведением противоположных событий является невозможным событием:

В* =

В*(D-В) = В-В =

Пример: исходные данные из примера 1.

Ω_(А-В) = { ω₂, ω₄, ω₆}/{ ω₅, ω₆}={ω₂, ω₄}

Ω = { ω₁, ω₂, ω₃, ω₄, ω₅, ω₆}/{ ω₂, ω₄, ω₆} ={ω₁, ω₃, ω₅ }