§ 180.3. Разбиение множеств на непересекающиеся подмножества есть не что иное как классификация, которая занимает столь заметное место в лингвистике, во всяком случае при исследовательском подходе.

При классификации элементы относят к одному и тому же подмножеству на основании того, что все они обладают каким-либо определенным признаком, которого лишены элементы всех других подмножеств. Более точно это выглядит следующим образом. Обычно в качестве основания классификации выбирают признак, принимающий несколько значений, например, признак подъема для гласных, который принимает, допустим, три значения: верхний подъем, средний подъем, нижний подъем. Сколько значений принимает признак — столько подмножеств, или классов, выделяется. Например, а относится к гласным нижнего подъема, э, о — к гласным среднего подъема, и, у, ы — _/174//175/ к гласным верхнего подъема. Получаем в результате три класса (подмножества) гласных.

§ 180.4. Элементы каждого класса (подмножества), полученные в результате классификации, находятся в отношении эквивалентности друг к другу. Иначе говоря, все они эквивалентны, или неразличимы с точки зрения данного признака. Элементы, находящиеся в отношении эквивалентности, характеризуются следующим: каждый элемент эквивалентен сам себе, что называется рефлексивностью; если элемент x эквивалентен элементу y, то элемент y эквивалентен элементу x, что называется симметричностью; если элемент x эквивалентен элементу y, а элемент y эквивалентен z, то элемент x эквивалентен z, что называется транзитивностью. Из наличия рефлексивности, симметричности и транзитивности соответственно следует эквивалентность.

Описанные условия очень важны. Необходимо также постоянно помнить, по какому признаку определяется отношение эквивалентности. Например, согласная /s/ эквивалентна согласной /z/ по месту и способу образования, а согласной /t/ — по месту образования и глухости. Разумеется, из этого не следует транзитивности с точки зрения всех признаков и не следует, что /s/, опять-таки с точки зрения всех признаков, эквивалентна /t/, хотя и можно, безусловно, сказать, что все три фонемы эквивалентны по месту образования (т. е. все они являются зубными, или переднеязычными).

§ 180.5. Кроме сложения и умножения множеств говорят также о вычитании множеств, результатом которого является их разность. Разностью множеств A и B называют множество C = A – B, в которое входят все элементы множества A, не принадлежащие B. В том случае, когда B является частью (подмножеством) множества A, разность A и B называют дополнением к множеству B в A.

Это важное для лингвистики понятие. Если рассматривать множество всех контекстов (окружений), в которых находится данная фонема или морфема, т. е. их полную дистрибуцию, то можно сказать, что подмножества контекстов, в которых встречаются несвободные варианты фонемы или морфемы, являются дополнениями друг к другу. Именно на этом и основано, по существу, понятие дополнительной дистрибуции.

§ 180.6. Сложение, умножение и вычитание множеств иллюстрируют обычно схемами, которые мы приводим ниже (см. Рис. 1, 2, 3).

A C B	C A B	C   A B
Рис. 1. A  B.	Рис. 2. A  B.	Рис. 1. A – B.

На рис. 1 показано пересечение множества A и B (символически A  B), их произведение — множество C (заштриховано). На рис. 2 показано сложение, или объединение множеств A и B (символически A  B), их сумма — множество C (заштриховано). На рис. 3 показано вычитание множеств A и B (символически A – B), их разность — множество C (заштриховано). _/175//176/

§ 181. Операции, аналогичные умножению и сложению в теории множеств, в логике совершаются по отношению к высказываниям. Высказыванием называют некоторое предложение, которое может быть истинно или ложно; при этом не интересуются, во-первых, структурой высказывания, оно выступает как нечто цельное, и, во-вторых, тем, истинно или ложно данное высказывание в действительности. В логике занимаются только операциями над высказываниями, которые из истинных высказываний получают истинные, из истинных — ложные и т. д.

Над высказываниями можно осуществлять следующие операции:

1) отрицание: если высказывание X истинно, то его отрицание X^– («не-Х») ложно, и наоборот; X^– по отношению к высказыванию X аналогично дополнению A — B по отношению к множеству B в A при отрицании множеств;

2) конъюнкция — отношение «и», объединение двух высказываний (аналогичное пересечению множеств): если высказывания X и Y одновременно истинны, то истинна и их конъюнкция X  Y («X и Y»).

3) дизъюнкция — отношение «или» («X или Y»): высказывание X  Y истинно, если хотя бы одно из высказываний истинно (эта операция аналогична сложению множеств); дизъюнкция может быть строгой (сильной) и слабой: первый тип представлен тогда, когда имеется в виду исключающее «или», т. е. «или X, или Y, но не оба одновременно», второй тип соответствует включающему «или» («и/или»), т. е. «или X, или Y, или оба одновременно»;

4) импликация — отношение «если..., то...»: высказывание X → Y истинно всегда, кроме того случая, когда X истинно, а Y ложно;

5) материальная эквивалентность — отношение «если, и только если»: сложное высказывание X ^→_← Y ложно только тогда, когда X истинно, а Y ложно, или наоборот.

Все указанные операции также играют важнейшую роль в лингвистическом описании. Так, на операции отрицания построены все классификации, в основании которых лежат привативные оппозиции (см. § 47). Например, глухие представляют собой не что иное, как не-звонкие, т. е. результат применения операции отрицания к «звонкости».

На операции конъюнкции, по существу, основаны синтагматические связи, а не операции дизъюнкции — парадигматические.

Проиллюстрируем применение понятий строгой и слабой дизъюнкции. Возьмем высказывание X  Y, где X представляет собой высказывание «фонемы дифференцируют означающие морфем», а Y — «фонемы дифференцируют означающие слов». При строгой дизъюнкции высказывание X  Y окажется ложным, так как невозможно, чтобы фонемы дифференцировали, скажем, два слова, не дифференцируя одновременно хотя бы часть морфем, входящих в эти слова. При слабой дизъюнкции, однако, то же высказывание окажется истинным, но оно будет оставаться таковым и тогда, когда X ложно, а Y истинно, что с лингвистической точки зрения неприемлемо (слова опять-таки не могут дифференцироваться, если все их морфемы идентичны; разумеется, здесь в принципе не должна учитываться омонимия).

Из изложенного выше должно быть ясно, что традиционное высказывание «фонемы дифференцируют означающие морфем или слов» логически непра-_/176//177/вомерно (это свойство фонем относится непосредственно только к морфемам).

Любопытно истолкование некоторых фактов грамматики изолирующих (также некоторых агглютинативных) языков в свете логических положений об импликации и материальной эквивалентности. Известно, что в языках типа русского употребление определенных показателей для выражения соответствующего грамматического значения обязательно: если нужно выразить, например, значение множественности, то употребляются окончания ‑ы, ‑и, ‑а и др.; если же употреблены указанные показатели, то словоформы передают значение множественности. Иначе говоря, употребление показателей и выражение значения множественности находятся в отношении материальной эквивалентности.

В отличие от этого в таких языках, как бирманский, тюркские и ряд других, употребление показателей множественного числа передает значение множественности, но из их неупотребления не следует значение единичности, например: бирм. са² оу⁴, турецк. китаб (без показателя множественного числа) могут передавать и значение «книга», и значение «книги». Иначе говоря, между употреблением показателей множественного числа и значением множественности существует отношение импликации: как было сказано выше, из ложности X в высказывании X → Y не следует ложность Y, т. е. из неупотребления показателя множественного числа не следует отсутствие значения множественности.

§ 182. В логике и математике очень важную роль играет понятие исчисления. Об исчислении говорят тогда, когда имеется точно определенный, количественно и качественно, алфавит — набор элементов, символов и имеются правила образования, или формационные правила, по которым из элементов данного алфавита можно построить формулы, или выражения. Правила должны перечислять абсолютно все возможные операции с символами, и только их. Выражения, полученные посредством применения правил, называются правильно построенными формулами (ппф), и они принимаются в качестве аксиом.

Примером могут служить цифры (алфавит) и арифметические операции с ними (формациоиные правила).

Обычно наряду с этим имеются также правила преобразования, или трансформационные правила, или правила вывода. По этим правилам, которые также носят точный и исчерпывающий характер, можно из аксиом построить новые выражения, допустимые в данной системе.

Такие системы называются формальными системами, исчислениями, или формализмами.

Если символы и выражения исчисления имеют определенную смысловую интерпретацию, то говорят, что исчисление является семантически интерпретированным. Интерпретация указывает, какие объекты, свойства, процессы описывает данное исчисление. Например, дифференциальные уравнения соответствующего вида описывают поведение механических или электрических колебательных систем, следовательно, этот фрагмент дифференциального исчисления семантически интерпретирован.

Исчисление, обладающее семантической интерпретацией, называют формальным (формализованным) языком. _/177//178/

Легко видеть, что именно к идеям теории формальных систем восходят представления трансформационно-порождающей грамматики. Можно сказать, что в трансформационно-порождающей лингвистике грамматика предстает в виде формальной системы, алфавит которой — символы S, NP, VP, N, V и т. д., а формационные правила — правила подстановки. Ядерные предложения в общем аналогичны аксиомам (ппф), в качестве трансформационных правил выступают, естественно, трансформации. Каждое предложение мыслится как объект, который можно получить путем применения формационных и трансформационных правил к исходному алфавиту.

В полном согласии с представлениями, развиваемыми теорией исчислений, семантика в трансформационно-порождающей грамматике рассматривается как интерпретация символов и выражений формальной (синтаксической) системы, а понятие «язык» используется для обозначения совокупности правильно построенных предложений.