1. Поле комплексных чисел. Алгебраическая и тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме, формула Муавра. Извлечение корней из комплексных чисел.
- нейтральный элемент по +
Для
,
является противоположным.
- нейтральный элемент по
Для
,
является обратным.
является полем .
естественным образом. Обозначим через
пару
,
тогда
можно представить в следующем виде:
– алгебраическая форма.
– действительная часть числа
.
– мнимая часть.
Определение 1.
называется сопряженным к
,
если
.
Утверждение 1.
Утверждение 2.
Определение 2. Модулем
называется
.
Свойства:
1)
.
2)
.
3)
.
однозначное соответствие между
и комплексной плоскостью, где по Ox
откладываем вещественную часть числа
,
а по Oy – мнимую.
Если ввести на плоскости полярные
координаты, получаем тригонометрическую
форму числа
:
,
где
,
а
определяется с точностью до
из равенств:
.
Сложение комплексных чисел выполняется по правилу параллелограмма.
При умножении комплексных чисел модули перемножаются, а аргументы складываются.
,
/
Формула Муавра:
.
Определение 3. Корнем n-ой
степени из
называется число, которое при возведении
в n-ую степень дает
.
Утверждение 3. Извлечение корня n-ой
степени из
всегда возможно и при
дает n различных
корней:
.
2.Кольцо многочленов от одной переменной. Корень многочлена, теорема Безу, кратность корня. Неприводимые многочлены над r и c. Теорема о разложении многочлена в произведение неприводимых многочленов.
Рассмотрим
– некоторое поле – поле коэффициентов.
Рассмотрим
- формальную переменную, не входящую в
.
Положим
.
Определение 1. Многочленом от одной
переменной называется запись вида
.
где
.
Многочлен
имеет степень
,
если в его записи
и
при
или
их просто нет. Введем операции
.
,
Пусть
.
Сумма:
,
где
,
.
Произведение:
,
где
,
..
Множество многочленов обозначим
.
– коммутативное кольцо с 1.
Теорема о делении с остатком.
или
.
Определение 2.
делит
,
если
.
–
значение многочлена
в точке
.
Определение 3.
- корень
,
если
.
Теорема Безу.
является корнем
делит
.
Определение 4.
называется k – кратным
корнем
,
если
делится на
,
но не делится на
.
Определение 5. Многочлен называется
приводимым, если его можно разложить
,
где
и неприводимым, если такого разложения
не существует.
Утверждение 1. Количество корней
многочлена
не превосходит его степени.
Основная теорема алгебры.
многочлен из
имеет корень
т.о. при
неприводимыми являются только многочлены
1-й степени.
Если
– корень, то
также корень. Т.о. при
неприводимыми являются многочлены 1-й
степени и 2-й степени у которых
,
т.е.корни являются единственно мнимые.
Теорема о линейном разложении.
,
не обратим, тогда
разлагается в произведение неприводимых
многочленов
Причем это разложение однозначно в
следующем смысле, если
,
то
,
где
– обратимый элемент.
3.Матрицы и алгебраические операции над ними. Обратная матрица, критерий существования и методы её вычисления. Жорданова нормальная форма матрицы.
Пусть Р – некоторое поле
Определение. Матрицей называется
таблица n×m
заполненная числами
Матрицы обозначаются
или
Операции над матрицами:
1) Умножение на число:
2) Сложение:
3) Умножение
4) Транспонирование
-
абелева группа
-кольцо
с 1.
Утверждение.
обратная (т.е.
)
.
Методы вычисления
.
1) Метод неопределенных коэффициентов
в
приводит к n линейным
системам n уравнений
с n неизвестными.
Решение каждой из систем дает столбец
искомой матрицы
2) Метод алгебраических дополнений
-
алгебраическое дополнение элемента
матрицы
А.
Жорданова нормальная форма матрицы. (ЖНФ)
Рассмотрим
.
Определнеене. Клеткой Жордана
называется
Определение. Жорданова матрица –
квазидиагональная матрица, в которой
на диагонали стоят клетки Жордана
.
Определение.
является
ЖНФ для
,
если
.
Теорема. Для
ЖНФ с точностью до порядка следования
клеток Жордана.
4. Определители, их основные свойства. Миноры и алгебраические дополнения. Теорема Лапласа. Разложение определителя по элементам строки(столбца). Определитель произведения квадратных матриц.
Определение. Определителем n-ого порядка квадратной матрицы А называется сумма всевозможных членов, представляющих собой произведение n элементов матрицы, взятых по одному и только одному из каждого столба. Знак члена (-1)t где t –число инверсий в перестановке 2-х индексов элементов, если 1-е индексы идут по возрастанию.
Свойства:
1)
2)
3) Если А содержит нулевую строку
или столбец,
4)
5) Если в А поменять местами 2
строки/столбца,
изменит знак.
6) Пусть i-ая строка А
имеет вид
,
тогда
,
где
получены заменой
на
.
7) Если в А 2 строки/столбца
пропорциональны,
8) Если в А к элементам некоторой
строки прибавить соответствующие
элементы другой строки, умноженные на
число, то определитель не изменится.
Рассмотрим матрицу n×n. Зафиксируем k строк и k столбов. Элементы, стоящие на пересечении зафиксированных строк и столбов образуют матрицу k×k . Определитель этой матрицы – минор порядка k исходной матриц. Обозначим М.
Если исключить зафиксированные столбцы
и строки, то получим матрицу
.
Если определитель – дополнительный
минор по отношению к М обозначим
М1.
Алгебраическое дополнение
,
где
-
сумма выделенных строк и столбцов.
Теорема Лапласа. В
,
зафиксируем k строк.
,
тогда
.
Мi - всевозможные миноры, стоящие в k строках
Аi – соответствующие алгебраические дополнения.
Следствие. Пусть k=1, зафикс. i-ую строку
–разложение
det по строке.
Аналогично для столбца.
I
