Глава I. Аксиоматический метод построения геометрических теорий

§1. Геометрические понятия

Абстрагирование проблем механики привело к возникновению математических теорий, принявших аксиоматически-абстрактный вид.

Аксиоматический метод – способ построения научной теории, при котором в основу кладутся некоторые исходные положения, называемые аксиомами, а все остальные предложения получаются как логические следствия аксиом.

Зародившись в работах древнегреческих ученых, аксиоматический метод получил дальнейшее развитие после открытия в начале XIX века неевклидовой геометрии Н. И. Лобачевским и Я. Бойяи. По мере накопления опыта аксиоматического изложения (здесь надо отметить работы М. Паша, Дж. Пеано) уточнялось понятие аксиоматического метода. Впервые список аксиом, достаточный для логического построения евклидовой геометрии, был дан в книге немецкого математика Д. Гильберта «Основания геометрии» (1899 г.).

Покажем, как можно формировать математическую теорию, пользуясь аксиоматическим методом. Пусть (для простоты) даны три множества: М₁, М₂, М₃ и их прямое произведение М = М₁ ´ М₂ ´ М₃. Всякое непустое подмножество D множества М называют отношением, определенным во множествах М₁, М₂, М₃. Если элемент (т₁, т₂, т₃), где т₁ Î М₁, т₂ Î М₂, т₃ Î М₃, принадлежит D, то говорят, что элементы т₁, т₂, т₃ находятся в отношении D.

Пусть на тройке множеств М₁, М₂, М₃ заданы некоторые отношения D₁, D₂ … D_k. Обозначим через А₁, А₂ … А_t свойства этих отношений, которые мы явно не формулируем.

Определение 1.1. Математической структурой называется множество S = {М₁, М₂, М₃, D₁, D₂ … D_k}, где отношения D_l обладают свойствами

S = {А₁, А₂ … А_t}. (1.1)

Список S называется списком аксиом. Элементы множеств М₁, М₂, М₃ называют основными, или неопределяемыми понятиями, а отношения D_l – неопределяемыми отношениями. Таким образом, математическая структура определяется списком аксиом S.

Пример. Рассмотрим структуру п – мерного векторного пространства. Пусть дано не пустое множество элементов V и множество R – поле вещественных чисел. Элементы первого множества назовем векторами. На множествах V и R зададим отношения:

D₁ – сложение векторов;

D₂ – умножение вектора на число.

Потребуем, чтобы эти отношения удовлетворяли ниже перечисленным аксиомам, которые разбиты на три группы.

I. Аксиомы сложения векторов:

1. , | . Такой вектор – единственный и называется суммой векторов и .

2. .

3. .

4. . Такой вектор называется нулевым.

5. , | . Вектор (–) называется противоположным вектору .

II. Аксиомы умножения вектора на число:

1. , , . Вектор – единственный и называется произведением вектора на число k.

2. .

3. (, ) .

4. (, ) .

5. (, ) .

III. Аксиомы размерности:

1. Существует п линейно независимых векторов.

2. Всякие п + 1 вектор линейно зависимы.

Структура S = { V, R, D₁, D₂ }, определяемая выше перечисленными 12-ю аксиомами называется структурой п – мерного векторного пространства над полем вещественных чисел и обозначается V^п .

Список S может определять не один набор отношений s = {D₁, D₂ … D_k } на данных множествах М₁, М₂, М₃ и, следовательно, не одну математическую структуру. Обозначим через Т множество структур, определяемых списком (1.1). Если S Î T, то говорят, что S – математическая структура рода Т.

Используя неопределяемые понятия, отношения и выстраивая конечную цепочку из аксиом, взятых в определенном порядке из списка S, формируют новые понятия и отношения, которые называют определяемыми, а также их свойства. Эти свойства называют логическими следствиями списка S. Множество предложений, являющихся логическими следствиями аксиом системы S, называется теорией структур рода Т. Как правило, такую теорию обозначают через t(Т). Каждому роду присваивается определенное название (теория групп, теория аффинных пространств и т. д.).

В геометрии используются различные понятия и отношения. Их свойство быть неопределяемым или определяемым в данной теории зависит только от исходного списка аксиом S. Как известно, в аксиоматике Гильберта понятия «прямой», «плоскости», отношения: «инцидентности», «лежать между», «конгруэнтности», участвующие в построении геометрии евклидова пространства, являются неопределяемыми. В аксиоматике Вейля эти понятия и отношения подлежат определению через понятия «точка», «вектор» и перечисленные выше четыре отношения.

Возникают три законных вопроса:

а) Всякий ли список аксиом S определяет некоторую математическую структуру?

б) Если список аксиом S задает математическую структуру, то все ли аксиомы из списка S необходимы для этого?

в) Можно ли список S пополнить новыми аксиомами, не изменяя неопределяемых отношений и понятий, так, чтобы новый список определял новую структуру?

Эти три требования, предъявляемые к списку S, называют требованиями «непротиворечивости», «независимости» и «полноты». Остановимся на них подробнее.

Определение 1.2. Систему аксиом называют внутренне непротиворечивой, если из нее нельзя получить логическим путем два утверждения, из которых одно является отрицанием другого.

Чтобы решать вопросы о внутренней непротиворечивости данной системы аксиом, надо изучить технику логических выводов предложений из аксиом. Такая задача относится к одной из задач математической логики.

Определение 1.3. Список аксиом S называется содержательно непротиворечивым, если существуют конкретные множества М₁, М₂, М₃ с конкретными отношениями D₁, D₂ … D_k, обладающими свойствами из списка S.

Такой конкретный набор множеств и отношений называется моделью структуры данного рода. Таким образом, проверка списка на содержательную непротиворечивость достигается построением модели. В частности, в качестве моделей могут выступать различные физические теории.

Если модель построена, то говорят также, что построена интерпретация данного списка аксиом, и тогда проблема внутренней непротиворечивости этой системы аксиом сводится к вопросу о внутренней непротиворечивости системы тех понятий, которые были использованы при построении интерпретации. Если известно, что эта система понятий внутренне непротиворечива, то тогда будет внутренне непротиворечива исходная система аксиом.

Так, например, непротиворечивость геометрии Лобачевского доказана Ф. Клейном и А. Пуанкаре в предположении, что непротиворечива геометрия Евклида, а вопрос о непротиворечивости гильбертовской аксиоматики евклидовой геометрии был сведен Д. Гильбертом к проблеме непротиворечивости арифметики.

Таким образом, если оставаться только в рамках геометрии, то мы можем решать вопрос исключительно о содержательной непротиворечивости данной системы аксиом.

Метод интерпретаций позволяет также решить вопрос о независимости аксиом. Пусть известно, что список S непротиворечив.

Определение 1.4. Аксиома А_l Î S называется независимой от аксиом данного списка, если предложение А_l не является логическим следствием аксиом S¢ = S \ {А_l}.

Для проверки независимости аксиомы А_l ее заменяют в данном списке на отрицание . Если при этом окажется, что список непротиворечив, значит, предложение А_l логически не следует из списка S¢.

Если аксиома А_l зависима от остальных аксиом списка S, то ее можно вычеркнуть из этого списка, в результате теория t(S) не изменится.

Заметим, что проверку на «независимость» нельзя применять к аксиомам, которые используются для формулировки других аксиом. Так, например, в системе аксиом, определяющих структуру группы, аксиома о существовании нейтрального элемента считается выполненной при формировании аксиомы о существовании симметричного элемента. Поэтому для этой аксиомы вопрос о ее независимости ставить нельзя.

Определение 1.5. Непротиворечивая система аксиом S, вводящая основные отношения D₁, D₂ … D_k, называется неполной, если существует аксиома А, удовлетворяющая условиям:

а) аксиома А не вводит новых отношений;

б) аксиома А независима от системы S;

в) система непротиворечива.

Если не существует аксиомы, удовлетворяющей условиям определения 1.5, то список S называется полным. Для доказательства полноты системы S достаточно доказать, что все ее интерпретации изоморфны, т. е. между моделями существуют взаимно однозначные соответствия, сохраняющие отношения, вводимые списком аксиом S.