§3. Геометрические преобразования

Наряду с понятием координатной системы другим наиболее важным понятием в математике является понятие преобразования. Первые зачатки и идеи геометрического учения о преобразованиях относятся к глубокой древности и связаны с учением о соответствии точек изображаемого объекта с точками его изображения на плоскости. Развитие этого учения привело к созданию той ветви геометрии, которая получила название «геометрия положения», или «проективная геометрия». Выдающееся значение для проективной геометрии имели работы французского ученого Ж. В. Понселе (1788-1867 гг.). Он рассмотрел те свойства фигур, которые остаются инвариантными при проектировании.

Существенное значение для развития проективной геометрии имела работа А. Ф. Мебиуса «Барицентрическое исчисление» (Лейпциг, 1827), в которой он пришел к понятию взаимно однозначного соответствия на плоскости и в пространстве. В 1872 году Ф. Клейн, используя результаты, ранее полученные математиком А. Кэли, приходит к выводу, что геометрия представляет собой учение о преобразованиях, образующих группы. Он утверждает концепцию геометрии как теорию инвариантов некоторой группы преобразований. Этот групповой подход к пониманию сущности геометрии был высказан Клейном в лекции «Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований», вошедшей в историю под названием «Эрлангенская программа», и позволил установить известную классификацию важнейших геометрических систем.

Общее определение преобразования формулируется следующим образом.

Определение 3.1. Взаимно однозначное отображение множества М на себя называется преобразованием этого множества.

Из данного определения следует: чтобы показать, что некоторое соответствие установленное на множестве М является преобразованием, необходимо проверить выполнимость трех условий:

1. Каждой точке множества соответствует единственная точка этого множества.

2. Каждая точка является образом некоторой точки.

3. Разным точкам соответствуют разные точки.

Например, нетрудно увидеть, что соответствие, устанавливаемое на плоскости формулами , задает преобразование плоскости, а соответствие преобразованием уже не будет.

Определение 3.2. Последовательное выполнение двух преобразований называется композицией этих преобразований.

Композиция преобразований f₁, f₂ обозначается как f₂ o f₁. Пусть Х некоторая точка множества. Тогда, определению 3.2

f₂ o f₁(Х) = f₂ (Х₁) = Х₂

и, следовательно, в этой композиции точка Х преобразуется в точку Х₂.

Преобразования обладают следующими свойствами.

Свойство 3.1. Тождественное отображение множества на себя есть преобразование на этом множестве.

Свойство 3.2. Композиция преобразований есть снова преобразование.

Свойство 3.3. Композиция преобразований подчиняется ассоциативному закону, т. е. f₃ o (f₂ o f₁) = (f₃ o f₂)o f₁.

Доказательство. Пусть точка А произвольная точка множества М и пусть f₁(А) = В, f₂(В) = С, f₃(С) = D. Тогда, по определению композиции преобразований, будем иметь (f₂ o f₁)(А) = f₂(В) = С и, следовательно, f₃ o (f₂ o f₁)(А) = D. С другой стороны, (f₃ o f₂) (В) = f₃(С) = D и, следовательно, (f₃ o f₂)o f₁.(А) = D. Отсюда вытекает справедливость ассоциативного закона для преобразований.

Если композиция двух преобразований f₁ и f₂ есть тождественное преобразование, то каждое из них называется обратным для другого преобразования и обозначается f₁^–1 или f₂^–1 соответственно, т.е. f₁ = f₂^–1 и f₂ = f₁^–1.

Отсюда и из вышеперечисленных свойств вытекает следующее утверждение.

Теорема 3.1. Совокупность всех преобразований множества образует группу относительно композиции преобразований на этом множестве.

Заметим, что если во множестве преобразований взять некоторое его подмножество, то оно, вообще говоря, не будет образовывать группу.

Пусть G – группа некоторых преобразований на заданном множестве. Возьмем на этом множестве две, какие либо, фигуры, например А и В. Фигуру А называют эквивалентной фигуре В, если в группе G существует преобразование, переводящее фигуру А в фигуру В.

Следуя Ф. Клейну, геометрическими называют такие свойства фигур и связанные с фигурами величины, которые инвариантны относительно любого преобразования из данной группы G и которые, следовательно, одинаковы у всех эквивалентных фигур. Совокупность таких инвариантов называют геометрией группы G.

Задание преобразования легко осушествляется с помощью координатных систем. Рассмотрим на данном множестве совокупность координатных систем одной и той же размерности. Как было замечено выше, каждая из них задается определенным репером. Возьмем два репера, например, R и М. Найдем ее координаты относительно репера R. Пусть, например, М. Так как координатные системы имеют одинаковую размерность, то на данном множестве будет существовать точка с такими же координатами, но уже относительно репера . Пусть это будет точка , т.е. . Поставим в соответствие точке М точку Очевидно, что установленное соответствие задает на исходном множестве преобразование. Таким образом, преобразование задается двумя реперами, т.е. f (R, ).

Рассмотрим второй способ задания преобразований, который вытекает из предыдущего способа. Если f (М) = , то между координатами точек М и , найденных относительного одного из реперов R или существуют функциональные зависимости. Найдем эти зависимости. С этой целью обозначим координаты точки в репере R через (, , …, ). Пусть репер R задает координатную систему ₁, а репер координатную систему j₂. Тогда по определению преобразования у точки в системе j₁ будут координаты (, , …, ), а в системе j₂ - (Рис. 3.1).

В однородных пространствах связь координат точки в разных системах координат выражается формулами вида (2.3). Учитывая обозначения координат точки , в системах j₁ и j₂ эти формулы запишутся в виде

= (), j = 1,…, n, ¹ 0. (3.1)

Вывод. В однородных пространствах геометрические преобразования задаются формулами вида (3.1).

Задания для самостоятельной работы

1. Опишите структуру группоида.

2. Опишите структуру полугруппы.

3. Опишите структуру квазигруппы.

4. Опишите структуру лупы.

5. Опишите структуру группы.

6. Опишите структуру n-мерного векторного пространства.

7. Чем отличается список аксиом, задающий структуру n-мерного векторного пространства, от списка аксиом 2-мерного векторного пространства.

8. Перечислите, известные Вам, математические структуры, позволяющие построить евклидову геометрию плоскости.

9. Напишите формулы перехода от одного базиса к другому в 3-х мерном векторном пространстве.

10. Напишите формулы преобразования координат вектора при переходе от одного базиса к другому в 3-х мерном векторном пространстве.

11. Задайте координатную систему на сфере. Ответ обоснуйте.

12. Приведите пример базисов в 3-мерном векторном пространстве : а) одинаковой ориентации, б) разной ориентации.