- •Тема 1. Элементы линейной алгебры.
- •1. Матрицы и определители.
- •Операции над матрицами.
- •Определители квадратных матриц.
- •Обратная матрица.
- •2. Системы линейных уравнений.
- •2.1. Система п уравнений с п неизвестными.
- •2.1.1. Метод обратной матрицы
- •2.1.2. Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера.
- •2.2. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
Обратная матрица.
Для любого действительного числа существует обратное число такое, что . Для квадратных матриц вводится аналогичное понятие.
-
Определение. Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице , если при умножении этой матрицы на обратную, как справа, так и слева получается единичная матрица .
Из определения следует, что только квадратная матрица имеет обратную; при этом обратная матрица также является квадратной того же порядка. Однако не каждая квадратная матрица имеет обратную.
Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы). Обратная матрица существует (и единственна) тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная .
Алгоритм вычисления обратной матрицы:
-
Находим определитель исходной матрицы. Если , то матрица - вырожденная и не имеет обратной матрицы.
-
Находим матрицу - транспонированную к .
-
Находим алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы и составляем из них матрицу, заменяя каждый элемент матрицы его алгебраическим дополнением. Такая матрица называется присоединенной (или союзной), обозначим ее .
-
Вычисляем обратную матрицу по формуле .
-
Проверяем правильность вычисления обратной матрицы , исходя из её определения: .
Пример 1. Найти матрицу, обратную данной .
-
Найдем определитель матрицы разложением по первой строке =, следовательно, матрица А невырожденная и обратная матрица существует.
-
Находим матрицу , транспонированную к А:
-
Находим алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы и составляем из них присоединенную матрицу:
.
-
Вычисляем обратную матрицу.
-
Проверяем правильность вычисления обратной матрицы по формулам: (выполнить самостоятельно).
2. Системы линейных уравнений.
Пусть дана система т линейных уравнений относительно п неизвестных . Уравнения системы пронумеруем: первое, второе и т.д. Коэффициенты при неизвестных в -том уравнении системы обозначим через (первый индекс указывает номер уравнения, второй – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент), а свободный член -того уравнения – через . Тогда система будет иметь вид:
(1)
Числа называются коэффициентами системы уравнений, а числа - свободными членами. Заметим, что в системе уравнений (1) количество неизвестных может не совпадать с числом уравнений.
-
Решением системы уравнений (1) называется такая последовательность чисел , которая является решением каждого уравнения системы. Решить систему – значит найти все ее решения или убедиться в том, что их нет.
Возможны только три случая:
1) система уравнений несовместна, т.е. не имеет ни одного решения;
2) система уравнений является определенной, т.е. имеет единственное решение;
3) система уравнений является неопределенной, т.е. имеет бесчисленное множество решений.
-
Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной.
-
Неизвестное называется разрешенным, если какое-нибудь уравнение системы содержит это неизвестное с коэффициентом, равным единице, а во все остальные уравнения системы неизвестное не входит, т.е. входит с коэффициентом, равным нулю.
Пример. Система уравнений
содержит разрешенные неизвестные , неизвестные же не являются разрешенными.
-
Если каждое уравнение системы содержит разрешенное неизвестное, то такую систему называют разрешенной. Так система, приведенная в примере, является разрешенной.
Из каждого уравнения разрешенной системы выберем по одному разрешенному неизвестному, получим набор попарно различных неизвестных, который называется набором разрешенных неизвестных данной системы. Заметим, что набор разрешенных неизвестных в общем случае определен неоднозначно. Например, приведенная в примере система обладает двумя наборами разрешенных неизвестных и .
Неизвестные системы линейных уравнений, которые не входят в данный набор, называются свободными. Так, если в системе - набор разрешенных неизвестных, то неизвестные являются свободными, если же - набор разрешенных неизвестных, то свободными являются неизвестные .
-
Разрешенная система уравнений всегда совместна.
-
Система будет определенной, если число уравнений равно числу неизвестных, и неопределенной, если количество неизвестных больше числа уравнений.