Задание № 1-4.

1. Вычислить выражения:

2. Вычислить i ⁷⁷.

3. Решить систему:

4. Доказать, что два мнимых числа сопряжены тогда и только тогда,

когда их произведение и их сумма - действительные числа.

5. Найти комплексные числа, сопряженные своему квадрату.

6. Найти тригонометрическую форму чисел:

7. Вычислить выражения:

8. Вычислить

Ответы

1a. 4. Док-во. 5.

6.

Задание № 2-2.

1. Вычислить:

2. Составить таблицу умножения для группы корней 6-ой степени из 1.

3. Выписать все корни из 1 и указать первообразные для степеней 3 и 12.

4. Решить уравнение:

Ответы.

1а. 3. № 1, 2, №1, 5, 7, 11.

1б.

1в. . 4.

1г.

Задание № 3-5.

1. Решить методом Гаусса системы уравнений:

а) б)

в) г)

д) е)

2. Исследовать системы и найти общее решение в зависимости от значений параметров:

а) б)

в) г)

Ответы.

1a. х₁ = , x₂ = , x₃ = 10, x₄ = 1.  1г. x₁ = x₃, x₂ = x₃.

1б. x₁ = 6  23x₃ + 17x₄, x₂ = 1+7x₃  5x₄ . 1д. х₁ =7/6x₅  x₃, x₂ = 5/6x₅ + x₃,

x₄ = x₅/3.

1в. x₁ = x₄ = 0, x₂ = ix₃. 1e. x₁ = x₂  = x₃ = 0, x₄ = x₅.

2a.   = 8: x₃ = 1, x₄ = 2  x₁  3/2x₂,    8: x₂ = 4  2/3x₁, x₃ = 1, x₄ = 0.

2б. , ,   различны, реш. нет. Среди  , ,  есть пара равных  реш.

зависит от 1-го параметра.   =  =   реш. зависит от 2-х парам.

2в. При  = 0 реш. зависит от 2-х парам. При    0 реш. зависит от

1-го параметра.

2г. 

Задание № 4-1.

1. Вычислить определители:

2. Пользуясь теоремой Крамера, решить системы:

3. Перемножить перестановки в указанном и обратном порядке.

4. Найти обратную перестановку: .

5. Определить число инверсий в последовательностях:

а) 1, 9, 6, 3, 2, 5, 4, 7, 8; б) 7, 5, 6, 4, 1, 3, 2; в) k, k+1, . . . , n, k-1, k-2, . . . , 2, 1.

6. Определить четность перестановок:

7. Какие из следующих произведений входят в выражения определителей и

с какими знаками ?

8. Подобрать i, k так, чтобы произведение входило в определитель 5-го порядка со знаком ”+”.

9. С каким знаком входит в определитель порядка n произведение элементов главной диагонали ?

Ответы

1a. аb  c²  d² . 1б. 1. 1в. 0. 1г. 3. 1д. 2х³  (a + b + c)х² + abc. 1е. 0.  2а. x = x = 1. 2б. x = a, y = 2b, z = 3c. 2в. x = 2, y = 3, z = 2.

3a.   3б.   3в.

4a. 4б)

5а. 13. 5б. 18. 5в. (k  1)(n  k) + 1/2(k  1)(k  2).

6a. неч. 6б. чет. 6в. чет. 7a. +. 7б. . 7в. нет. 8. i=1, k=4. 9 +.

Задание 5-2.

1. Как изменится определитель порядка n, если:

а) каждый его элемент заменить элементом, симметричным относительно

побочной диагонали ?

б) его повернуть на вокруг “центра” против часовой стрелки ?

в) его первый столбец поставить на последнее место, а остальные столбцы

сдвинуть влево, сохраняя их расположение ?

2. Разлагая по второму столбцу, вычислить определитель: