§4. Теорії міцності в опорі матеріалів

Якщо стержень перебуває в умовах лінійного (простого) напруженого стану, то оцінка його міцності може бути здійснена за допомогою співвідношень типу (2.8)

або ,

де , — відповідні допустимі напруження при розтягу і стиску, які встановлюються в залежності від граничного стану матеріалу. Оскільки величина єдиного головного напруження при лінійному напруженому стані може бути визначена дослідним шляхом, то оцінка міцності стержня досить проста. Якщо напружений стан стержня складний (просторовий або плоский), то при оцінці його міцності необхідно врахувати наявність трьох або двох головних напружень. При цьому небезпечний стан матеріалу залежить не тільки від величин σ₁, σ₂, σ₃, але й від співвідношень між ними.

Через неможливість експериментального визначення критеріїв небезпечного стану при складному напруженому стані користуються певними гіпотезами, які пояснюють причини руйнування матеріалу. Ці гіпотези називаються теоріями міцності. Вони дозволяють скласти умови міцності при складному напруженому стані, виходячи з умов міцності матеріалу при просторовому розтягу або стиску.

Загальний запис умови міцності при складному напруженому стані має вигляд

(2.20)

де σ_П — розрахункове або зведене напруження при складному напруженому стані.

Формули зведених напружень встановлюються відповідними теоріями міцності в залежності від прийнятих гіпотез.

Перша теорія міцності (теорія найбільших напружень). В основу цієї теорії покладено припущення, що небезпечний стан матеріалу настає тоді, коли максимальне головне напруження досягає значення, яке відповідає небезпечному стану при просторовому розтягу або стиску. Для складного напруженого стану або , тому умова міцності матеріалу, згідно (2.20) матиме вигляд

або . (2.21)

Недолік цієї теорії: вона не враховує двох інших головних напружень σ₂, σ₃ або σ₁, σ₂.

Друга теорія міцності (теорія найбільших відносних деформацій) — виходить з гіпотези про те, що причиною руйнування матеріалу є поява

найбільш відносних деформацій. За цією теорією складний і простий напружений стан є рівнонебезпечними, якщо найбільш відносні деформації у них однакові .

Використавши формули (2.3) і (2.14), умову рівноміцності зобразимо так: .

Тут враховано умову σ₁>σ₂>σ₃.

Якщо при простому напруженому стані допустиме напруження дорівнює , то умова міцності при складному напруженому стані на підставі (2.20) виразиться рівністю

. (2.22)

Друга теорія міцності, як і перша, недостатньо підтверджується дослідами, що пояснюється неврахуванням особливостей реальної будови тіл.

Третя теорія міцності (теорія найбільших дотичних напружень) вважає, що причиною руйнування матеріалу є дотичні напруження. В основу цієї теорії покладено припущення про те, що два напружених стани — складний і простий — вважаються рівноміцними, якщо найбільші дотичні напруження в них однакові

.

Найбільші дотичні напруження, згідно (2.12), визначаються формулами

; .

Підставляючи в умову рівноміцності, одержимо .

Якщо — допустиме напруження при простому напруженому стані, то на підставі (2.20), умова міцності при складному напруженому стані прийме вигляд

. (2.23)

Третя теорія міцності відображає настання в матеріалі стану текучості. Недоліком цієї теорії є те, що вона не враховує проміжного головного напруження.

Четверта теорія міцності (енергетична теорія). Згідно цієї теорії, складний і простий напружені стани вважаються рівноміцними, якщо в них однакова потенціальна енергія зміни форми, накопичена до моменту настання небезпечного стану .

З врахуванням (2.18) і (2.19) умову рівноміцності можна зобразити так:

Якщо при простому напруженому стані допустиме напруження дорівнює , то умова міцності при складному напруженому стані виразиться співвідношенням

(2.24)

Енергетична теорія міцності відображає настання текучості матеріалу. Вона добре підтверджується дослідами для пластичних матеріалів і набула великого поширення в інженерній практиці.

Крім названих вище, широке використання при дослідженнях складного напруженого стану мають теорії міцності Мора, П.П. Баландіна, І.М. Миролюбова і інші.