Якщо розглядається друга гранична задача, то граничні умови мають вигляд

. (8.14)

Тут – задані компоненти вектора зміщення; – контур області, яку займає тіло.

Умови сумісності Сен-Венана одержимо із (7.32) з урахуванням (8.10)

, (8.15)

де – оператор Лапласа в полярних координатах.

Позначимо через і відносні видовження (деформації) у напрямках і відповідно, а через відповідний кут зсуву між цими напрямками. Для їх визначення розглянемо деформацію елемента , утвореного двома парами координатних ліній (рис. 8.5).

С

Рис. 8.5

торона у радіальному напрямку одержить зміщення , а сторона – . Тоді за означенням

. (8.16)

Сторона змінює свою довжину за рахунок радіального зміщення як дуга кола і за рахунок видовження в напрямку . У першому випадку , , тому

.

В іншому випадку

.

Додаючи останні два співвідношення, одержимо

. (8.17)

Допустимо, що деформований елемент зміщений так, як показано на рис. 8.6. Зсув прямого кута між сторонами і дорівнює сумі величин заштрихованих кутів і визначається за формулою

. (8.18)

При виведенні останньої формули кути зсуву замінені їх тангенсами і враховано, що кут визначає поворот елемента як жорсткого цілого.

Рис. 8.6

На підставі (8.16), (8.17), (8.18) диференціальні залежності Коші в полярних координатах можна записати у вигляді

; ; . (8.19)

Для ізотропного матеріалу структура закону Гука не залежить від вибору системи координат, тому в полярних координатах цей закон в технічних сталих можна записати так:

; ; (8.20)

або

; ; . (8.21)

8.2. Зведення основної задачі до бігармонічної проблеми

Основні рівняння плоскої теорії пружності у полярних координатах при відсутності масових сил на підставі п. 8.1 можна записати у вигляді:

диференціальні залежності Коші

; ; ; (8.22)

умови сумісності Сен-Венана

; (8.23)

диференціальні рівняння рівноваги

; ; (8.24)

граничні умови

; при ;

; при ; (8.25)

закон Гука

; ; . (8.26)

Якщо ввести функцію напружень за формулами

; ; , (8.27)

то рівняння рівноваги (8.24) будуть виконуватися тотожно. З умови сумісності (8.23) одержимо бігармонічне рівняння для визначення функції напружень

. (8.28)

Якщо розв’язок рівняння (8.28), який задовольняє граничним умовам

; при ;

; при , (8.29)

буде відомим, то компоненти тензора напружень визначимо за формулами (8.27), а компоненти тензора деформації із співвідношень (8.21)

; ;

. (8.30)

Для визначення компонент вектора зміщення необхідно проінтегрувати диференціальні залежності Коші (8.22).

8.3. Задачі, в яких напруження залежать тільки від

Для деяких задач очевидна незалежність компонент напруженого стану від полярного кута . У цьому випадку функцію напружень можна подати у вигляді

, (8.31)

де – довільна стала; – функція, яка залежить тільки від .

Підставляючи (8.31) в (8.28), знаходимо рівняння для визначення

. (8.32)

Враховуючи співвідношення

,

рівняння (8.32) подамо у вигляді

. (8.33)

Після чотирикратного інтегрування його по знаходимо

. (8.34)

Стала не впливає на напружений стан тіла, тому на підставі (8.31) бігармонічна функція має вигляд

. (8.35)

Компоненти тензора напружень визначаємо за формулами (8.27)

; ;

. (8.36)

Компоненти тензора деформації у випадку плоского напруженого стану згідно з (8.22), (8.26) будуть визначатися співвідношеннями

;

;

. (8.37)

Інтегруючи перше рівняння (8.37) по , визначаємо

, (8.38)

де – довільна функція аргумента .

З другого рівняння (8.37), використовуючи (8.38), знаходимо

. (8.39)

Після інтегрування (8.39) по , одержимо

. (8.40)

Тут – довільна функція аргумента .

Підставляючи (8.38), (8.40), у третє співвідношення (8.37), одержимо

. (8.41)

Остання рівність можлива тільки тоді, коли

; . (8.42)

Розв’язуючи рівняння (8.42), знаходимо

; (8.43)

і формули (8.38), (8.40) для визначення компонент вектора зміщення приймають вигляд

;

, (8.44)

де , , – сталі, які визначаються із умов закріплення.

Перший доданок у другому співвідношенні (8.44) при обході замкненого контуру, тобто при зміні від 0 до , одержить приріст . Це означає, що у випадку неоднозв’язної області (кругове кільце) зміщення будуть однозначними тільки при . Тому для кругового кільця у формулах (8.35)-(8.38) необхідно покласти .

Розглянемо розв’язки деяких типових задач.

1. Порожнистий циліндр під дією рівномірного зовнішнього і внутрішнього тисків (задача Ламе). Нехай порожнистий круговий циліндр із зовнішнім радіусом і внутрішнім перебуває під дією рівномірного зовнішнього та внутрішнього тисків (рис. 8.7).

Рис. 8.7

Компоненти тензора напружень у двозв’язній області визначаються за формулами (8.36) при

; ; . (8.45)

Граничні умови задачі мають вигляд

; ;

; (8.46)

і дозволяють визначити сталі , , із системи рівнянь

; ; ; . (8.47)

Враховуючи значення цих сталих

; ; ,

із формул (8.45) визначаємо

;

; . (8.48)

Оскільки компоненти вектора зміщення не залежить від , то за формулами (8.44) знаходимо

;

. (8.49)

Зміщення виражає собою поворот циліндра навколо його осі, як абсолютно твердого тіла.

2. Чистий згин кривого стержня вузького прямокутного перерізу (задача Х.С. Головіна). Розглянемо стержень сталого поперечного перерізу з круговою віссю радіусом , де і – зовнішній і внутрішній радіуси, згинається в площині кривини моментами , прикладеними до його торців (рис. 8.8).

Н

Рис. 8.8

апруження в розглядуваній задачі, як і в попередніх задачах, не залежить від полярного кута , тому функцію напружень вибираємо у вигляді (8.35). Відповідні цій функції напруження визначаються за формулами (8.36).

Граничні умови задачі на криволійнійних контурах стержня мають вигляд:

; (8.50)

і на його торцях

; . (8.51)

Першу умову (8.51) перетворимо так

. (8.52)

Внаслідок (8.50) остання умова виконується тотожно. Із другої умови (8.51) знаходимо з урахуванням (8.27)

. (8.53)

Підставляючи (8.36) в граничні умови (8.50), враховуючи при цьому (8.53), одержимо систему рівнянь для визначення сталих , , ,

; ;

; ;

. (8.54)

Якщо розв’язок системи (8.54) стане відомим, то за формулами (8.36) визначаємо компоненти тензора напружень

; ;

, (8.55)

де , а компоненти вектора зміщення – із співвідношень (8.44), в яких сталі , , знаходимо із умов закріплення стержня.