2.4. Гідростатика
Для рідини, що перебуває в стані спокою під дією сил тяжіння рівняння Ейлера (2.15) приймає вигляд
. (2.28)
Тут
враховано, що
.
Це рівняння описує механічну рівновагу
рідини. Якщо зовнішні сили відсутні, то
,
тобто
– тиск у всіх точках рідини однаковий
(закон Паскаля). Рівняння (2.2) безпосередньо
інтегрується, якщо густину рідини можна
вважати постійною по всьому об’єму,
тобто якщо не вібувається помітного
стиску рідини під дією зовнішнього
силового поля. Вісь
напрямимо вертикально вгору. Проектуючи
(2.28) на координатні осі, одержимо
;
. (2.29)
Інтегруючи (2.29), знаходимо
. (2.30)
Якщо
зрівноважена рідина має вільну поверхню
на висоті
,
до якої прикладено однаковий у всіх
точках тиск
,
то ця поверхня повинна бути горизонтальною
площиною
.
З умови
при
маємо
.
Тоді рівняння (2.30) запишеться у вигляді
. (2.31)
Для
великих об’ємів рідини або газу густину
не можна вважати постійною. Це особливо
відноситься до газів (наприклад,
атмосфера).
Допустимо, що рідина перебуває не тільки в механічній, але і в тепловій рівновазі. Тоді температура однакова у всіх точках рідини і рівняння (2.28) може бути проінтегроване таким чином. Використаємо термодинамічне співвідношення
, (2.32)
де
– термодинамічний потенціал, віднесений
до одиниці маси рідини. При постійній
температурі
(2.33)
Із співвідношення (2.33) одержимо
.
Враховуючи, що
;
;
,
визначаємо
. (2.34)
Підставляючи (2.34) в (2.28), знаходимо
. (2.35)
Для
сталого вектора
,
який напрямлений вздовж осі
(у від’ємному напрямку) має місце
тотожність
.
Тоді рівняння (2.35) запишеться так
. (2.36)
Із (2.36) визначаємо, що у всьому об’ємі рідини повинна бути постійною сума
. (2.37)
Величина
є потенціальною
енергією одиниці маси рідини у полі
земного тяжіння.
Співвідношення (2.37) відоме із статистичної
фізики як умова термодинамічної рівноваги
системи, що перебуває у зовнішньому
полі земного тяжіння.
Відзначимо простий наслідок із рівняння (2.28). Якщо рідина або газ перебувають в механічній рівновазі в полі тяжіння, то тиск у ньому може бути функцією тільки висоти (бо в протилежному випадку виникатиме рух). Тоді із (2.29) випливає, що і густина
(2.38)
є
функцією змінної
.
Але тиск і густина однозначно визначають
температуру в заданій точці тіла. Тобто
температура також буде функцією
.
Таким чином, при механічній рівновазі
рідини в полі тяжіння розподіл тиску,
густини і температури залежить тільки
від висоти. Якщо, наприклад, температура
в різних місцях на одній висоті різна,
то механічна рівновага рідини при цьому
неможлива.
Запишемо
рівняння рівноваги великої маси рідини,
частини якої утримуються разом силами
гравітаційного притягування. Нехай
–ньютонівський гравітаційний потенціал
створюваного рідиною поля. Він задовольняє
диференціальному рівнянню
, (2.39)
де
– гравітаційна стала.
Напруженість
гравітаційного поля дорівнює
,
тому сила
,
що діє на масу
(одиничний об’єм)
. (2.40)
Поділимо
(2.40) на
і застосуємо до обох частин операцію
з урахуванням (2.39). Тоді одержимо
. (2.41)
Підкреслимо, що раніше мова йшла тільки про механічну рівновагу. Рівняння (2.41) не передбачає повної теплової рівноваги.