Подобие и моделирование процессов конвективного теплообмена

Конвективный теплообмен описывается системой дифференциальных уравнений и условиями однозначности с большим количеством переменных. Аналитическое решение полной системы уравнений затруднительно. Поэтому большое значение приобретает экспериментальные исследования. Однако при изучении столь сложного процесса, как конвективный теплообмен, не всегда легко проводить и опытное исследование.

Для исследования влияния на процесс какой-либо одной величины остальные нужно сохранять неизменными, что не всегда возможно из-за большого числа переменных. Эти трудности помогает разрешить теория подобия. С помощью теории подобия размерные физические величины можно объединить в безразмерные комплексы, причем число комплексов будет меньше числа величин, из которых составлены комплексы. Полученные безразмерные комплексы можно рассматривать как новые переменные.

Кроме того, новые безразмерные переменные отражают влияние не только отдельных факторов, но и их совокупности, что позволяет легче определить физические связи в процессе.

Теория подобия устанавливает также условия, при которых результаты лабораторных исследований можно распространить на другие явления, подобные рассматриваемому.

Приведение математической формулировки краевой задачи к записи в безразмерной форме

Пусть поверхность твердого тела омывается несжимаемой жидкостью, температура и скорость которой вдали от тела постоянны и равны T₀ и ₀ соответственно.

Предполагаем, что физические параметры жидкости постоянны (учтем только подъемную силу, возникающую в результате зависимости плотности от температуры). Рассмотрим процесс – стационарный (Т и скорость в каждой точке жидкости не изменяется). Расположим ось ОУ нормально к поверхности тела, а ось ОХ – направлена вдоль тела и вертикальна. При этом g_х = g, а проекции вектора сил тяжести (или подъемной силы) на оси ОУ и OZ g_y = g_z = 0. Размер тела вдоль оси OZ намного больше l₀.

При принятых условиях поля температур и скоростей можно описать дифференциальными уравнениями в приближении пограничного слоя:

_х х + _y y  a ²/y² – уравнение энергии,

(так как толщина теплового пограничного слоя k  l, то теплопроводностью вдоль слоя пренебрегаем, то есть ²/х² = 0),  = Т – Т₀. движение только вдоль ОХ

_х _х/х  _у _х/у   ²/у² + g - уравнение движения,

_{сила трения подъемн. сила}

 = Т – Т₀; здесь постоянная скорость изменения по времени _х равна

d_x/d  _x/  _х _х/х  _у _х/у + _z _z/z

_{= 0, так как задача стационарная}

И связанный с ним перенос теплоты можно рассмотрим как стационарные (квазистационарные) процессы. При этом интервал времени осреднения должен быть достаточно большим по сравнению с периодом пульсации. В общем случае пульсации скорости и температуры приводят к пульсациям давления и физических свойств.

В виду математических сложностей в достаточно строгой постановке вопросы теплообмена при турбулентном течении не решены. При рассмотрении этих процессов используют понятие: степень турбулентности – отношение средней квадратичной пульсации составляющих вектора скорости в данной точке турбулентного потока к определенному значению скорости в той же точке:

,

где _х и _у - пульсации составляющих вектора скорости;  - осредоточенное значение скорости в точке.

Степень турбулентности влияет на интенсивность переноса количества движения и теплоты в турбулентном потоке.

На процессы переноса в турбулентном потоке оказывают влияние массы жидкости, движущиеся как единое целое, или пространственная структура турбулентности.

Представление о средних размерах турбулентных образований (масс жидкости, движущихся как единое целое) может дать величина, которая называется масштабом турбулентности.

Количество движения, относительно оси ОХ, переносимое в направлении ОY за единицу времени через единицу поверхности:

S_т = ²(d_x/dy)²,

где – масштаб турбулентности.

То есть – характеризует геометрическую структуру потока.

_х/х  _у/у = 0 – уравнение сплошности

Граничные условия имеют вид:

1) вдали от тела (у = )

 = ₀ = 0; _х = ₀; _у = 0

2) на поверхности тела (у = 0, 0  х  ₀, -  z  +)

 = _с  Т_с – Т₀ = const; _х = _у = _z = 0

В уравнениях и условиях однозначности различают 3 вида величин:

Независимые переменные – х, у;

Зависимые переменные - _, _х, _у;

Постоянные величины - ₀, ₀, ₀, , а, g,  и др. – они задаются условиями однозначности.

Таким образом, искомые зависимые переменные _, _х, _у зависят от большого числа величин.

Величины, содержащиеся в уравнениях и условиях однозначности, можно сгруппировать в комплексы. Число безразмерных комплексов  числа размерных величин.

Для привидения к безразмерному виду выберем масштабы привидения. Для линейных величин выберем какой- либо характерный размер, например, длину поверхности теплообмена l₀, для скорости ₀, для температуры _с.

Обозначим безразмерные величины:

Х = х/ ₀; Y = у/ ₀; W_x = _х/₀;

W_y = _y/₀;  = / _с. (а)

Тогда Х₀ = х; Y₀ = у; W_x₀ = _х;

W_y₀ = _y; _с = . (б)

Подставим в уравнения согласно равенствам (б), получим:

(W_x  W_y ) = ²Y² – уравнение энергии

Здесь Ре = _{0 0}/а – число Пекле

_{0 0}/а = с_р₀// ₀ – здесь числитель характеризует теплоту, переносимую конвекцией, а знаменатель – теплоту, переносимую теплопроводностью.