5.2. Арбитражные схемы

1. Природа и структура арбитражных схем. Большинство неантагонистических конфликтов в экономике и смежных с ней областях характеризуются тем, что их участники могут путем кооперирования объединять свои усилия. Сотрудничество между игроками приводит к качественно новому конфликту по сравнению с бескоалиционным вариантом.

В бескоалиционных играх отклонение одного из участников от ситуации равновесия не дает ему никакого преимущества. Однако при отклонении нескольких игроков эти игроки могут получить больший выигрыш, нежели в ситуации равновесия. В связи с этим в условиях, в которых возможна кооперация между игроками, принцип равновесия не оправдывает себя. Так, например, пусть неантагонистическая игра двух лиц задается двумя матрицами:

, .

В этой игре , и , поэтому ситуациями приемлемыми для игрока 1, будут ситуации вида при произвольном . Аналогично для игрока 2 приемлемыми ситуациями будут ситуации вида при произвольном . Следовательно, здесь единственной ситуацией равновесия оказывается ситуация (0, 0), в которой каждый из игроков выбирает свою вторую чистую стратегию и выигрывает единицу. Вместе с тем очевидно, что если игроки договариваются и выбирают свои первые чистые стратегии, то в ситуации (1, 1) каждый из них выигрывает по пять единиц. Однако ясно, что ситуация (1, 1), которая может сложиться при возможности кооперирования, является весьма неустойчивой, так как каждый игрок, изменяя в ней произвольным образом свою стратегию, увеличивает свой выигрыш.

Итак, при возможности кооперирования возникает противоречие между устойчивостью ситуации, выражаемой в виде равновесности, и ее целесообразностью – стремлением игроков к большим выигрышам. Это противоречие может разрешаться путем расширения множеств уже имеющихся стратегий на основе тех или иных стратегий между игроками. В частности, игроки могут выбирать свои стратегии совместно, договариваясь между собой. В результате множество ситуаций в смешанных стратегиях будет множеством всех вероятностных мер на множестве всех ситуаций в чистых стратегиях. Напомним, что при отсутствии соглашений между игроками множество ситуаций в смешанных стратегиях являлось произведением вероятностных мер, заданных на чистых стратегиях каждого из игроков.

Обозначим через U множество всевозможных векторов выигрышей игроков в игре n лиц при применении ими всех смешанных стратегий, заданных на множестве всех ситуаций в чистых стратегиях. Множество U содержится в евклидовом пространстве Rⁿ и является выпуклым, так как в рассматриваемом случае функция выигрыша каждого из игроков - линейная функция относительно совместной стратегии игроков, а множество их стратегий является выпуклым. Если предположить непрерывность функции выигрыша на множестве всех ситуаций в чистых стратегиях и компактность этого множества, то множество всех выигрышей будет также замкнуто и ограниченно, а поэтому компактно. Таким образом, при возможности кооперирования и некоторых предположениях о первоначальной бескоалиционный игре игроки имеют перед собой некоторое замкнутое ограниченное и выпуклое подмножество . Это множество называется допустимым множеством. Действуя совместно, игроки могут получить в качестве вектора выигрышей любой вектор .

Пусть – значение антагонистической игры, в которой все игроки играют против игрока i, т. е. стараются минимизировать его выигрыш, не обращая внимания на свои интересы. Обозначим через вектор, компоненты которого можно интерпретировать как выигрыши игроков в том случае, когда они не придут к соглашению. Вектор называют точкой status quo.

Определение 5.5. Тройку , где , , – множества игроков, будем называть арбитражной схемой.

Очевидно, игроки (или арбитр) должны руководствоваться некоторыми объективными представлениями о «справедливости» (принцип оптимальности).

2. Принцип оптимальности Нэша для общих арбитражных схем. Сформулируем для арбитражных схем аксиомы 5.1-5.6, которым должно удовлетворять правило , сопоставляющее каждому выпуклому замкнутому подмножеству U и точке точку .

Аксиома 5.1. Реализуемость: .

Аксиома 5.2. Индивидуальная рациональность: .

Аксиома 5.3. Оптимальность по Парето: если и , то .

Аксиома 5.4. Независимость от посторонних альтернатив: если и , то .

Аксиома 5.5. Линейность: если множество получается из U с помощью линейного преобразования, т. е. , а , то .

Аксиома 5.6. Симметрия: пусть – произвольная перестановка игроков, для которой следует . Пусть также , . Тогда .

Первые три аксиомы несомненно разумны, и комментарии излишни. Аксиома 5.4 означает, что, имея большие возможности для выбора , игроки согласятся на этот же вектор выигрышей при меньших возможностях, если этот вектор допустим. Аксиома линейности утверждает, что в разных шкалах измерения полезностей игроки руководствуются одинаковым принципом оптимальности при выборе . Шестая аксиома (иногда называемая аксиомой анонимности) постулирует равноправие игроков.

Далее для простоты будем считать, что в множестве U существует вектор u, каждая i-я координата которого строго больше . Противоположный случай тривиален. Оказывается, имеет место следующая теорема:

Теорема 5.1. Существует единственная функция , определенная для всех арбитражных схем и удовлетворяющая аксиомам 5.1 – 5.6. (Доказательство этой теоремы в работе [9]).

Распределение выигрышей согласно функции имеет ряд существенных недостатков. Основной из них состоит в следующем.

Пусть имеется некоторое конечное множество игроков . Любое его подмножество , включая само множество I и одноэлементные подмножества , а также пустое множество , называется коалицией. В некоторых случаях коалиция обеспечивает для всех игроков выигрыши строго большие, чем . В этой ситуации игроки кооперативной игры, вступая в соглашения друг с другом, не будут удовлетворены распределением выигрышей . Поэтому решение о распределении согласно вектору может быть принято лишь некоторым третьим лицом – арбитром. Это решение оптимально в смысле аксиом 5. 1 – 5. 6 и носит обязательный характер. Отсюда берут свое название «арбитражные схемы».