Содержание

Введение 2

1. Знакомство с методом конечных элементов на примере задачи о растяжении стержня 3

2. Основы работы с программой Ansys 10

3. Задача Ламе

4. Задача Кирша

5. Контактная задача Герца

6. Кручение стержней

7. Расчет фланцевого соединения

8. Задача определения температурного поля в лопатке газовой турбины.

9. Расчет собственных частот и форм колебаний фермы.

Литература

ВВедение

1. Знакомство с методом конечных элементов на примере задачи о растяжении стержня

1.1. Постановка задачи в дифференциальной форме

Рассмотрим прямой стержень длины l, заделанный на одном конце и нагруженный сосредоточенной растягивающей силой P на другом конце, а также распределенной растягивающей силой p по всей длине (рис. 1.1). Такая задача описывается следующим уравнением и граничными условиями.

(1)

(2)

(3)

Здесь x — координата вдоль оси стержня, u(x) — продольное перемещение сечений стержня, E — модуль Юнга материала, F — площадь поперечного сечения; штрихом обозначена производная по x. Для простоты примем, что распределенная сила p постоянна (это может быть, например, сила тяжести).

Найдем точное решение этой задачи. Проинтегрировав уравнение (1), получим деформации:

(4)

Постоянную (это деформация стержня при x = 0) можно найти из граничного условия (3):

Подставляя найденное в (4) и интегрируя, получим перемещения:

(5)

Постоянная интегрирования равна нулю, так как конец x = 0 заделан (2). По формуле (5) можно найти перемещение на конце x = l:

1.2. Вариационная постановка

Всякая задача математической физики допускает обычно две постановки: дифференциальную (ее мы рассмотрели выше) и вариационную. Метод конечных элементов (МКЭ) опирается на вариационную постановку, которая состоит в следующем. На расчетной области (в данном случае — отрезке [0, l]) вводится пространство U функций, обладающих достаточной гладкостью и, грубо говоря, пригодных для достаточно точной аппроксимации решения задачи, а также, возможно, удовлетворяющих некоторым граничным условиям. В нашей задаче таким пространством U будет множество дифференцируемых функций (x), определенных на отрезке [0, l] и равных нулю при x = 0, то есть удовлетворяющих кинематическому граничному условию (2). Далее, вводится в рассмотрение функционал J(). Функционал — это отображение множества функций во множество вещественных чисел. Вариационная постановка задачи сводится к тому, чтобы подобрать функционал J, обладающий свойством экстремальности на точном решении задачи. Если функционал выпуклый, то в точке экстремума он принимает наименьшее или наибольшее значение. В нашей задаче таким функционалом является потенциальная энергия системы (функционал Лагранжа):

(6)

Здесь первое слагаемое — энергия упругой деформации стержня, остальные два — работа нагрузок. Решение вариационной задачи состоит в поиске такой функции (x) из пространства U, на которой функционал принимает наименьшее значение. Эта функция и будет решением задачи — полем перемещений u(x) в сечениях стержня.

Убедимся, что вариационная и дифференциальная постановки нашей задачи эквивалентны друг другу. Для этого вспомним, что в точке экстремума функционала его вариация равна нулю. (Вариация L() функционала L() — это главная линейная часть его изменения при малом изменении  функции ; (x), как и (x) — функция из пространства U.) Найдем L(u) и, считая u решением, приравняем L к нулю. Варьируя (6) (правила варьирования напоминают правила дифференцирования), получим:

Избавимся от вариации в первом интеграле, взяв его по частям. После перегруппировки слагаемых получим

Это выражение должно быть равно нулю для любой функции из пространства U. Как показывается в вариационном исчислении, такое возможно только при равенстве нулю каждого слагаемого по отдельности. Второе слагаемое равно нулю автоматически, так как — так было выбрано пространство функций. Вариация произвольна, поэтому в первом слагаемом равен нулю первый множитель — получили граничное условие (3). Третье слагаемое равно нулю при любом тогда и только тогда, когда равно нулю подынтегральное выражение — то есть, выполняется уравнение (1). Таким образом, мы показали эквивалентность вариационной и дифференциальной постановок данной задачи.

1.3. Метод Ритца

Математическая физика рассматривает задачи с бесконечным числом неизвестных. Например, в задаче о растяжении стержня неизвестной величиной является перемещение в каждом сечении. Чтобы получить возможность численного решения таких задач, необходимо произвести дискретизацию, то есть заменить модель с бесконечным числом неизвестных адекватной моделью с конечным числом неизвестных. Вариационная постановка привлекательна именно в связи с возможностью осуществлять такую дискретизацию простым и естественным путем. Эта возможность — в выборе пространства U функций, в котором разыскивается решение задачи.

Решение любой задачи математической физики можно с достаточной точностью аппроксимировать линейной комбинацией конечного числа заранее заданных (т. н. базисных) функций _k(x) k = 1,2,…N. Неизвестными задачи становятся множители при базисных функциях в этой линейной комбинации. Чем большая требуется точность, тем больше базисных функций надо взять. Выбранные базисные функции и определяют пространство U — это будет их линейная оболочка (то есть множество всевозможных линейных комбинаций с вещественными коэффициентами c_k).

Например, при численном решении задачи о растяжении стержня рассматривается не всё пространство дифференцируемых функций (x), таких, что (0) = 0, а лишь некоторое его подпространство, пригодное для достаточно точной аппроксимации решения. В качестве базисных функций можно взять, скажем, полиномы x^k, k = 1,2,…N.

Проиллюстрируем процедуру дискретизации на нашей задаче. Аппроксимируем перемещения сечений стержня линейной комбинацией базисных функций _k:

(7)

Подставив аппроксимацию (7) в функционал (6), получим

или, в матричной записи,

(8)

Здесь C — столбец (высоты N) коэффициентов c₁, c₂,…, c_N, K — матрица жесткости системы, состоящая из N строк и N столбцов, R — столбец (высоты N) узловых нагрузок, эквивалентных приложенным силам. Верхний индекс T обозначает транспонирование. Элементы матрицы K и столбца R вычисляются по формулам

, k, m = 1, 2, …, N (9)

, k = 1, 2, …, N (10)

Так как каждая функция из выбранного нами пространства определяется N коэффициентами c₁, c₂,…, c_N, то функционал L превратился в функцию этих коэффициентов: . Как известно из теории функций нескольких переменных, его минимум достигается при равенстве нулю частных производных по всем аргументам: L/c₁=0, L/c₂=0, …, L/c_N=0. Таким образом, дифференцируя (8), получим условие минимальности функционала L, которое можно записать в виде

(11)

Итак, мы перешли от исходного дифференциального уравнения и граничных условий (1–3) к системе линейных алгебраических уравнений (11). Переход, который мы проделали, носит название метода Ритца. Систему (11) можно решать разнообразными численными методами. При этом обычно играет важную роль симметричность матрицы K (по построению) и ее положительная определенность (это следует из положительности потенциальной энергии).