- •Высшая математика Методические указания к практическим занятиям по теме «Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии» для студентов дневной и заочной форм обучения всех специальностей
- •212005, Г. Могилев, пр. Мира, 43
- •Содержание
- •Введение
- •1 Линейные операции над векторами, линейная зависимость и независимость векторов.
- •Линейные операции над векторами, линейная зависимость и независимость векторов
- •Линейные операции над векторами
- •Линейная зависимость и независимость векторов
- •Упражнения
- •Контрольные задания
- •Базисы и координаты векторов. Скалярное произведение векторов
- •Базисы и координаты векторов
- •Скалярное произведение векторов
- •Упражнения
- •Контрольные задания
- •Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторов
- •Векторное произведение векторов
- •Смешанное произведение векторов
- •Упражнения
- •Контрольные задания
- •Прямая на плоскости
- •Основные способы задания прямых на плоскости
- •Упражнения
- •Контрольные задания
- •Плоскость в пространстве
- •Основные способы задания плоскостей
- •Упражнения
- •Контрольные задания
- •Прямая в пространстве
- •Основные способы задания прямой в пространстве
- •Взаимное расположение двух прямых
- •Упражнения
- •Контрольные задания
- •Список литературы
-
Линейные операции над векторами
Вектором (свободным) называют совокупность всех одинаково направленных отрезков, имеющих одинаковую длину. Пусть – направленный отрезок с началом в точке А и концом в точке В (рисунок 1). Этот отрезок однозначно определяет некоторый вектор . В дальнейшем вектор и направленный отрезок будут отождествляться, а использоваться будет тот из них, который в данном случае удобнее. Итак . Длина вектора есть длина соответствующего отрезка и обозначается .
-
Определение. Векторы и называются коллинеарными, если соответствующие им направленные отрезки параллельны. Векторы , , называются компланарными, если соответствующие им направленные отрезки параллельны одной плоскости.
Два вектора и равны, если они коллинеарны, одинаково направлены и равны по длине. Пишут = .
-
Определение. Суммой векторов и называется вектор, обозначаемый + и равный (рисунок 2).
Итак, + = (правило треугольника).
При решении задач полезно использовать свойства суммы векторов.
-
+ = +, ,.
-
+ (+) = (+)+ , ,, .
-
Существует единственный нулевой вектор , имеющий нулевую длину и такой, что , .
-
Для любого вектора существует единственный противоположный вектор (–) такой, что .
-
Определение. Произведением вектора на действительное число называется вектор (или ), длина которого равна , а направление совпадает с направлением , если >0, и противоположно , если <0.
Перечислим свойства произведения вектора на число, которые постоянно используются при решении задач:
1) ; |
3) ; |
5) ; |
2) ; |
4) ; |
для любых . |
-
Пример. Пусть задан параллелограмм , – точка пересечения его диагоналей (рисунок 3). Доказать, что
1) + =; 3) +=.
2) ++=;
Решение.
1 Известно, что диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам. Значит, =. Поскольку векторы и противоположно направлены, то =−, т.е. +=.
2 По определению суммы векторов +=. С другой стороны =−, поэтому ++=.
3 На векторах и , как на сторонах, построим параллелограмм (см. рисунок 3). Тогда =, +=+=. Обратимся к четырехугольнику . Это параллелограмм, т.к. , и поэтому =. Теперь очевидно, что +=.
-
Линейная зависимость и независимость векторов
-
Определение. Векторы , , …, называются линейно зависимыми, если существуют числа , , …, , не равные одновременно нулю, для которых выполняется равенство
-
+ + … + =. (1)
Если же равенство (1) выполняется только для , , …, , то векторы , , …, называются линейно независимыми.
Основной признак, которым полезно пользоваться при установлении линейной зависимости (независимости) векторов, заключается в следующем.
-
Теорема. Векторы , , …, линейно зависимы тогда и только тогда, когда один из них является линейной комбинацией остальных.
-
Пример. Пусть и – ненулевые векторы. Тогда следующие условия равносильны.
Векторы и линейно зависимы. . .
Доказательство проведем по схеме .
. Если и линейно зависимы, то существуют числа и , такие, что . Так как и – ненулевые векторы, то в этом равенстве и и из него получим , где .
. Из равенства и условия следует, что .
. Пусть . Умножим вектор на число , если и одинаково направлены, и на , если и направлены противоположно. Тогда векторы и , имеющие одинаковые длины, равны, т.е. , что означает линейную зависимость векторов и .
Таким образом, любые два коллинеарных вектора линейно зависимы. То же самое можно сказать о любых трех компланарных векторах.