- •Высшая математика Методические указания к практическим занятиям по теме «Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии» для студентов дневной и заочной форм обучения всех специальностей
- •212005, Г. Могилев, пр. Мира, 43
- •Содержание
- •Введение
- •1 Линейные операции над векторами, линейная зависимость и независимость векторов.
- •Линейные операции над векторами, линейная зависимость и независимость векторов
- •Линейные операции над векторами
- •Линейная зависимость и независимость векторов
- •Упражнения
- •Контрольные задания
- •Базисы и координаты векторов. Скалярное произведение векторов
- •Базисы и координаты векторов
- •Скалярное произведение векторов
- •Упражнения
- •Контрольные задания
- •Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторов
- •Векторное произведение векторов
- •Смешанное произведение векторов
- •Упражнения
- •Контрольные задания
- •Прямая на плоскости
- •Основные способы задания прямых на плоскости
- •Упражнения
- •Контрольные задания
- •Плоскость в пространстве
- •Основные способы задания плоскостей
- •Упражнения
- •Контрольные задания
- •Прямая в пространстве
- •Основные способы задания прямой в пространстве
- •Взаимное расположение двух прямых
- •Упражнения
- •Контрольные задания
- •Список литературы
-
Упражнения
-
Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору .
-
Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки , , .
-
Составить уравнение плоскости, проходящей через точки , и перпендикулярной плоскости .
-
Найти расстояние от точки до плоскостей:
-
1) 2; 2) .
-
Исследовать взаимное расположение плоскостей. В случае, если плоскости П1 и П2 пересекаются, найти угол между ними.
1) ; ;
2) ; ;
3) 2; ;
4) 2; .
-
Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и параллельной плоскости Оyz.
-
Построить плоскости:
1) ; 3) ;
2); 4).
-
Через ось Oz провести плоскость, составляющую с плоскостью угол .
-
Контрольные задания
Рекомендуемая литература [1, гл. 2, §2–3], [2, гл. 5, §5.2, 5.3, 5.10, 5.11], [3, гл. 1, §1.5].
-
Написать уравнение плоскости, проходящей через точки и В(5,−3, −2) и перпендикулярной плоскости .
-
Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно линии пересечения плоскостей и .
-
Вычислить расстояние между параллельными плоскостями:
; .
-
Построить плоскости:
1) ; 2).
-
Прямая в пространстве
Цель занятия: усвоение способов задания прямой в пространстве, выработка навыков построения уравнений прямых, овладение способами исследования взаимного расположения прямых.
-
Основные способы задания прямой в пространстве
Считаем, что в пространстве задана ортонормированная система координат . Координаты произвольной точки M обозначаем, как правило, x,y,z, и пишем M(x,y,z). Вектор , параллельный прямой L, называют направляющим вектором этой прямой. Перечислим основные способы задания прямых в пространстве.
-
Прямая L определяется как линия пересечения плоскостей и . Её уравнения имеют вид:
(25)
Уравнения (25) называют общими уравнениями прямой L.
-
Прямая L определяется одной своей точкой и направляющим вектором . Её уравнение имеет вид:
(26)
Уравнения (26) называют каноническими уравнениями прямой L.
-
Прямая L определяется одной своей точкой и направляющим вектором . Она может быть задана параметрическими уравнениями вида:
(27)
где t – параметр,
-
Прямая определяется двумя своими точками и , . Она может быть задана уравнениями следующего вида:
(28)
-
Пример. Записать канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно оси Ox.
Решение. По условию искомая прямая L параллельна оси Ox, поэтому вектор , расположенный на оси Ox, можно считать направляющим вектором прямой L. Согласно (26) получаем канонические уравнения прямой L:
Заметим, что нули в знаменателях дробей в канонических уравнениях означают только то, что и Согласно (27) получаем параметрические уравнения прямой L:
-
Пример. Прямая задана общими уравнениями:
Записать канонические уравнения этой прямой.
Решение. Для того, чтобы записать канонические уравнения прямой L, требуется найти какую-либо точку на ней и её направляющий вектор или найти две различные точки этой прямой. Выберем точку на прямой L. Полагаем z=0 в общих уравнениях прямой. Получаем систему уравнений:
откуда x=3, y=2.
Итак, точка принадлежит L. Направляющий вектор прямой L должен быть перпендикулярен обоим нормальным векторам и плоскостей и . Значит, в качестве направляющего вектора можно взять векторное произведение , т.е.
Согласно (26) записываем канонические уравнения L: