Загальні вказівки

Приблизний алгоритм розв’язання задач цього розділу такий:

1. записати коротку умову задачі, подавши всі величини в системі СІ;

2. якщо в задачі розглядаються два різних стани газу, необхідно встановити, чи змінюється маса газу при переході з одного стану в інший:

• якщо маса газу не змінюється, щоб застосувати рівняння ізопроцесу газу, необхідно побачити, який термодинамічний параметр стану газу (P, V або T) не змінюється за умовою задачі, щоб правильно вибрати і застосувати відповідний газовий закон;

• якщо у двох станах газу маса різна, то для кожного стану треба застосувати рівняння Менделєєва–Клапейрона;

3. якщо в задачі задається один стан газу й потрібно визначити якийсь параметр цього стану, треба використати рівняння Менделєєва–Клапейрона;

4. застосовуючи перший закон термодинаміки, треба враховувати, що в його рівнянні кожна величина може бути додатною або від’ємною залежно від характеру процесу;

5. у задачах на теплову машину треба пам’ятати, що формула її ККД  = А/Q₁ використовується для будь-якої теплової машини, а формула максимального ККД  = (Т₁ –Т₂)/Т₁ – тільки для ідеальної, що працює за циклом Карно;

6. використовуючи зв’язки між фізичними величинами, що подані в умові задачі, треба написати додаткові рівняння таким чином, щоб число рівнянь дорівнювало числу невідомих величин;

7. розв’язати отриману систему рівнянь, записавши відповідь у загальному вигляді (тобто у вигляді формули) і виділити її;

8. підставити числові значення величин, що входять до відповіді, виконати обчислення й отримати числове значення відповіді;

9. проаналізувати відповідь, оцінити її реальність, за необхідності перевірити розмірність отриманого результату.

Рівняння стану ідеального газу. Ізопроцеси в газах.

№17. Визначити масу молекули метану (СН₄).

Дано:

N_А   = 6,0210²³ 1/моль Визначаємо молярну масу метану:

М(СН₄) = 1610^-3 кг/моль М = (12+41)10^-3 кг/моль = 1610^-3 кг/моль.

т_о – ? Ураховуючи, що в 1 молі речовини міститься N_А  – число Авогадро молекул, маємо: .

Обчислюючи, отримуємо: 2,6610^-23 (кг).

№18. Визначити густину повітря за нормальних умов.

Дано: Записуємо коротку умову задачі, враховуючі табличні P_А   100 кПа = 10⁵ Па дані М і R. Запишемо рівняння Менделєєва–Клапейрона:

Т = 0С = 273 К . Ураховуючи, що , маємо:

М = 2910^-3 кг/моль , звідки .

R = 8,31 Дж/мольК Тепер підставляємо дані з умови задачі й обчислюємо:

 – ? 1,28 (кг/м³).

№19. Газ стиснуто ізотермічно від об’єму 4 л до об’єму 3 л. Тиск при цьому збільшився на 4 кН. Визначити початковий тиск газу.

Дано:

V₁ = 4 л = 4 10^-3 м^-3 За законом Бойля-Маріотта (оскільки Т = const):

V₂ = 3 л = 4 10^-3 м^-3 P₁V₁=P₂V₂ .

P = 4 кПа = 410³ Па Ураховуючи, що Р₂=Р₁+Р, отримаємо:

Т₁ = Т₂ P₁V₁=(Р₁+Р)V₂.

Р₁ - ? Звідси маємо: P₁V₁ = Р₁V₂ + РV,

.

Обчислюємо: =1210³ (Па).

№20. У балоні міститься суміш метану і кисню. Визначити молярну масу сіміші, якщо масова доля метану складає 2/3. 

m₁ /m = w₁ = 2/3 Молярну масу суміші визначимо за формулою:

M₁ = 1610^-3 кг/моль М = т/,

M₂ = 3210^-3 кг/моль де т = т₁ + т₂ – масса суміші,

M – ?  =  ₁+ ₂ = – її кількість.

Ураховуючи, що m₂ /m = (т – m₁) /m = 1 – w₁, звідси маємо:

. Обчислюємо:

19,210^-3 (кг/моль).

№21. Балон вміщує суміш 64 г кисню і 320 г аргону. Тиск суміші 600 кПа, температура 27С. Визначити об’єм балона.

Дано:

m₁ = 64 г = 6410^-3 кг Запишемо рівняння Менделєєва-Клапейрона окремо

m₂ = 320 г = 32010^-3 кг для кисню і для аргону:

Т = 27С = 300 К , ,

Р = 610⁵ Па де Р₁ і Р₂ – парціальні тиски кисню і аргону.

M₁ = 3210^-3 кг/моль Складемо окремо ліві й праві частини цих двох рівнянь:

M₂ = 4010^-3 кг/моль .

R = 8,31 Дж/мольК Згідно з законом Дальтона Р = Р₁ +Р₂ ,

V - ?

звідси одержимо: .

Виконаємо розрахунки: 41,510^-3 (м³).

№22. З балона зі стиснутим киснем витратили частину газу таким чином, що його тиск зменшився від 10 МПа до 7 МПА. Температура змінилася від 27С до 17С. Визначити, яку частину газу витратили.

Дано:

Р₁ = 9 Мпа = 910⁶ Па Згідно з рівнянням Менделєєва-Клапейрона:

Р₂ = 5,8 Мпа = 5,810⁶ Па , . Звідси знаходимо:

Т₁ = 27С = 300 К ,

Т₂ = 17С = 290 К =.

m/m₁ - ?

Обчислюємо відповідь: .

№23. Визначити висоту, де атмосферний тиск зменшиться вдвічі у порівнянні з тиском на поверхні Землі. Уважати, що температура повітря дорівнює 17С і не змінюється з висотою.

Дано: Записуємо коротку умову задачі, враховуючі таб-

Р_А / Р = 2 личні дані М і R. Згідно з барометричною

Т = 17С = 290 К формулою: , звідки

М = 2910^-3 кг/моль . Логарифмуючи, отримаємо:

g  10 м/с² . Обчислюємо:

R = 8,31 Дж/мольК 5,810³ (м).

h – ?

Основи термодинаміки

№24. Визначити питому теплоємність при постійному об’ємі суміші газів, яка складається з 5 л кисню і 3 л гелію. Гази знаходяться в однакових умовах.

Дано:

V₁ = 5 л = 510^-3 м³ Питома теплоємність визначається за формулою:

V₂ = 3 л = 310^-3 м³ , де =

P₁ =P₂; Т₁ =Т₂ – теплота, яку отримала суміш, М₁ = 3210^-3 кг/моль m = m₁ + m₂ – маса суміші газів, і₁(О₂) = 5, і₂ (Не) = 3 –

М₂ = 410^-3 кг/моль число ступенів вільності молекул.

с_V – ? Масу і кількість кожного газу визначимо з рівнянь Мен-

дєлєєва–Клапейрона для кожного газу: і ,

звідки , , , .

Підставляючи у відповідні формули, отримуємо:

, , звідки:

==.

Обчислюємо: 99 Дж/кгК.

№25. Кисень знаходиться в об’ємі 1 м³ під тиском 0,2 МПа. Газ був нагрітий спочатку при постійному тиску до об’єму 3 м³, а потім при постійному об’ємі до тиску 0,5 МПа. Визначити зміну внутрішньої енергії газу, виконану газом роботу і теплоту, одержану газом.

Дано:

V₁ = 1 м³; V₂ = 3 м³ Зміна внутрішньої енергії ідеального газу:

P₁ = 0,2 Мпа = 210⁵ Па ,

V₃ = V₂; P₂ = P₁ де Т =Т₃ – Т₁ різниця температур в кінцевому і

P₃ = 0,5 Мпа = 510⁵ Па початковому стані, і(О₂) =5 – число ступенів вільності

U₁₃, A₁₃, Q₁₃ - ? молекули 2-атомного газу.

Початкову і кінцеву температури знайдемо з рівнянь Менделєєва-Клапейрона:

і , звідки ,

або = .

Робота газу при постійному тиску: А₁₂ = P₁ (V₂ – V₁), при постійному об’ємі: А₂₃ = 0. Тобто А₁₃ = А₁₂ +А₂₃ = .

Згідно з першим законом термодинаміки:

Q₁₃ = U₁₃ + A₁₃ = .

Підставляючи дані задачі, обчислюємо:

U₁₃ = = 3,2510⁶ (Дж).

A₁₃ = 210⁵(3 - 1) = 0,410⁶ (Дж). Q₁₃ = 3,2510⁶+ 0,410⁶  = 3,6510⁶ (Дж).

№26. У циліндрі під поршнем знаходиться водяна пара масою 50 г за температури 27С. Спочатку пара розширилася адіабатно, збільшивши об’єм у n₁ = 5 разів, а потім пара була стиснута ізотермічно, причому об’єм пари зменшився у n₂  = 5 разів. Визначити температуру в кінці адіабатного процесу і роботу, виконану парою в цих процесах.

Дано:

m = 50 г = 5010^-3 кг Температура та об’єм газу в адіабатному процесі (12)

M = 1810^-3 кг/моль пов’язані між собою співвідношенням:

Т₁ = 27С = 300 К , звідки:. Тут –

Т₃ =Т₂ показник адіабати, і(Н₂О) = 6 – число ступенів вільності V₂/V₁ = n₁ = 5 молекули 3-атомного газу.

V₂/V₃ = n₂ = 5 Оскільки для адіабатного процесу Q₁₂ = 0, перший закон T₂, A₁₂, A₂₃ – ? термодинаміки має вигляд: A₁₂ +U₁₂ = 0.

Тобто робота газу .

Робота газу в ізотермічному процесі (23) може бути знайдена за формулою: .

З рівняння Менделєєва–Клапейрона визначаємо тиск і підставляємо у формулу для знаходження роботи:

А₂₃=, тобто:

Виконаємо обчислення, урахувавши, що , 176 К,

 8587 (Дж), робота розширення газу додатна.

 –6539 (Дж), робота стискання газу від’ємна.

№27. Ідеальний газ виконує цикл Карно. Температура нагрівача Т₁ в  n = 5 разів вища за температуру охолоджувача Т₂. Яку кількість теплоти отримав газ від нагрівача, якщо виконана ним корисна робота становить А = 20 кДж?

Дано: Формула ККД теплового двигуна:  =,

А = 2010³ Дж ККД циклу Карно: =,

n = T₁ /T₂ = 5 де Т₁ – температура нагрівача, Т₂ – температура охолоджувача.

Q₁ - ? Прирівнюючи, одержуємо: , звідки: .

Підставляючи числові значення, обчислюємо 6,2510³ (Дж).

№28. Ідеальна теплова машина піднімає вантаж масою 400 кг. Робочий газ отримує від нагрівача за температури 217C кількість теплоти 80 кДж. На яку максимальну висоту піднімає вантаж ця теплова машина, якщо температура охолоджувача дорівнює 17C?

Дано: На піднімання вантажу витрачається корисна робота,

m = 400 кг яка йде на збільшення потенціальної енергії вантажу:

Q₁ = 8010³ Дж А = W_n = mgh.

T₁ = 217C = 500 K Корисну роботу можна визначити з формули ККД тепло-

T₂ = 17C = 300 K вої машини:  =, де Q₁ - кількість теплоти, яка переда-

h - ? ється робочому газу від нагрівача.

ККД ідеальної теплової машини визначається за формулою: ,

де Т₁ – температура нагрівача, Т₂ – температура охолоджувача.

Звідси одержуємо: A =  Q₁ =.

Тепер знаходимо висоту підйому вантажу: .

Підставляючи числові значення величин з умови задачі, обчислюємо:

= 8 (м).