Глава 2. Числовые характеристики случайной величины

2.1. Методы точечного оценивания

Параметры, назначение которых состоит в выражении в сжатой форме наиболее существенных особенностей распределения случайных величин, называются числовыми характеристиками случайной величины. Определение числовых характеристик представляет собой суть статистического оценивания случайной величины. Отметим также, что поскольку числовые характеристики имеют чрезвычайно важное значение, то они очень часто используются в расчетах безотносительно законов распределения.

В настоящее время используются два основных метода статистического оценивания: точечное и интервальное. Точечное оценивание заключается в том, что с помощью статистических методов определяются конкретные (точечные) оценки выборочного параметра, около которого находятся его истинные значения. Суть интервального оценивания состоит в том, что с помощью статистических методов мы получаем определенный диапазон (интервал) оценок выборочного параметра, внутри которого с большой заданной вероятностью находится его истинное неизвестное значение.

Точечное оценивание осуществляется с помощью следующих методов: моментов, максимального (наибольшего) правдоподобия, наименьших квадратов, наименьших абсолютных отклонений и др. Наиболее точным принято считать метод максимального правдоподобия, который рассматривается в виде некоторого эталона для других методов. Это связано с тем, что оценки максимального правдоподобия образуют класс оценок, имеющих наименьшую среднеквадратическую ошибку для выборок большого объема. Однако даже такой простой метод, как метод моментов для распределений, близких к нормальному закону, позволяет получить оценки параметров, хорошо согласующихся с методом максимального правдоподобия.

Суть метода максимального правдоподобия, предложенного Р. Фишером, состоит в следующем. Допустим, что вид функции распределения дискретной случайной величины Х задан, но неизвестен параметр θ, которым определяется этот закон. Тогда функцией правдоподобия случайной величины Х называют функцию аргумента θ:

L(x₁,x₂,…,x_n; θ) = p(x₁; θ)p(x₂; θ)…р(х_n; θ),

где р(х_i; θ) – вероятность того, что в результате испытаний величина Х примет значение х_i.

В качестве точечной оценки параметра θ принимают такое его значение θ = θ (х₁,х₂,…,x_n), при котором функция правдоподобия достигает максимума. При этом оценку θ называют оценкой максимального правдоподобия. В практических расчетах вместо функции L удобнее использовать логарифмическую функцию правдоподобия lnL. Для нахождения точечной оценки θ нужно отыскать максимум функции lnL следующим образом:

1) вычислить производную dlnL/dθ;

2) приравнять производную нулю и найти критическую точку – корень полученного уравнения;

3) найти вторую производную d²lnL/dθ² и в том случае, если вторая производная при θ=θ отрицательна, то θ – точка максимума.

Найденную таким образом точку максимума θ принимают в качестве оценки максимального правдоподобия параметра θ. К достоинствам данного метода относится то, что он всегда дает состоятельные, эффективные и несмещенные оценки и использует всю информацию, содержащуюся в выборке. Существенный недостаток метода состоит в том, что полученные с его помощью оценки зависят от закона распределения, а также в том, что он часто требует довольно сложных вычислений.

Метод моментов, предложенный К. Пирсоном, опирается на понятие о моментах статистических совокупностей. При этом наиболее широкое распространение в вероятностных расчетах получили моменты двух видов: начальные и центральные.

Начальным моментом _k порядка k случайной величины X называется математическое ожидание величины х^k

_k = Mх^k. (2.1)

Из формулы (2.1) следует, что при k=1 имеем первый начальный момент, который соответствует математическому ожиданию случайной величины Х.

Центральным моментом _k порядка k случайной величины X называется математическое ожидание центрированной величины (x – m_x)^k

_k = M(x  m_x)^k, (2.2)

где m_x - математическое ожидание случайной величины X. Отсюда видно, что центрированная случайная величина представляет отклонение от математического ожидания m_x. Из формулы (2.2) следует, что при k=2 получаем генеральную дисперсию случайной величины.

Таким образом, процесс центрирования, очень часто используемый в вероятностных расчетах, заключается в переносе начала координат в среднюю (центральную) точку, абсцисса которой совпадает с m_x. Так, из формулы (2.2) видно, что, например, второй центральный момент ₂ соответствует дисперсии случайной величины Х.

Между начальными и центральными моментами существует функциональная связь. Учитывая, что в теории вероятностей используются в основном первые четыре момента, связь между ними выражается следующими формулами:

_

___^

_____^

_____^__^

Итак, суть метода моментов точечного оценивания неизвестных параметров заключается в приравнивании теоретических моментов соответствующим эмпирическим моментам того же порядка. Так, начальным эмпирическим моментом порядка k является выражение вида:

. (2.3)

Теперь приравняем друг к другу начальный теоретический и эмпирический моменты первого порядка: ₁=₁. Тогда с учетом формул (2.1) и (2.3) имеем:

М(х) =х. (2.4)

Отсюда следует, что точечной оценкой математического ожидания является среднее арифметическое, полученное по ограниченной выборке. Аналогичным образом, приравняв центральный теоретический и эмпирический моменты второго порядка друг к другу, можно получить точечную оценку дисперсии.

Вообще говоря, в зависимости от свойств случайных величин числовые характеристики могут быть разделены на несколько групп. Одна группа (математическое ожидание, медиана, мода и др.) определяет положение случайной величины на числовой оси и характеризует центр её группирования. Другая группа (дисперсия, амплитуда, интерквартильное расстояние и др.) показывает размах (масштаб) колебаний случайной величины и степень ее рассеяния от центра. Наконец, еще одна группа (коэффициенты асимметрии и эксцесса) является характеристикой формы функции распределения, определяя степень ее асимметрии и крутости.