4. Модели задач планирования и управления горным производством

4.1. Задачи о расстановке оборудования

Задачи о расстановке оборудования возникают, когда используется разнотипное оборудование, и имеются различные по своим характеристикам участки работы. На горных предприятиях такие задачи возникают, когда необходимо расставить бригады или отдельных рабочих по местам работы; распределить транспортные средства по участкам, оборудование по блокам (уступам, забоям) и т.д.

Расстановка оборудования должна обеспечивать минимальные затраты на выполнение заданного объема работ или максимизацию выполняемого объема работ (выпуска продукции) имеющимся оборудованием. Соответственно критерием оптимальности могут служить затраты (денежные или времени) либо объем работ (выпуск продукции в натуральном или денежном выражении).

Приведем обобщенные постановки задач расстановки оборудования и их математические модели.

Имеется оборудование нескольких типов, которое можно использовать на различных участках. Количество оборудования каждого типа и его производительность на различных участках известны. Необходимо так расставить оборудование по участкам, чтобы общее время работы оборудования для выполнения заданного объема работы было минимальным.

Обозначим через i номер участка работы (i = 1, 2, ..., n); j - тип оборудования (j = 1, 2, ..., т); р_ij - производительность j-гo оборудования на i-м участке; V_i - плановый объем работы на i-м участке; К_j - количество единиц оборудования j-гo типа. За управляемые переменные можно принять х_ij - объем работы на i-м участке j-го оборудования или у_ij - время работы на i-м участке j-гo оборудования.

Приведем модели задач для обоих типов управляемых переменных, что проиллюстрирует возможность создания различных моделей для решения одной и той же задачи.

За критерий оптимальности примем общее время выполнения всего заданного объема работ. Общее время работы слагается из времени работы каждого вида оборудования j на всех участках i и выражается следующим образом:

(8)

Выражение (8) представляет собой целевую функцию задачи.

При решении задач должны соблюдаться следующие ограничения:

а) по выполнению планового объема работ на каждом участке V_j

(9)

б) по имеющемуся количеству оборудования

(10)

в) по положительности решения

(11)

Число ограничений первого типа в задаче равно n, второго m и третьего – nm.

Модель этой же задачи с управляемыми переменными y_ij имеет следующий вид:

(12)

при ограничениях

(13)

(14)

(15)

где - число машино-часов работы оборудования j-го типа.

Данные модели являются линейными. Если на определенной работе может находиться только целое число единиц оборудования, то задача будет относиться к классу задач дискретного (целочисленного) линейного программирования.

Если стоимость одного машино-часа работы оборудования различных типов существенно отличается и равна с_j, то в качестве критерия оптимальности используются суммарные затраты на выполнение заданного объема работ:

, (16)

или

(17)

При решении задачи в описанной постановке может оказаться, что для выполнения заданного объема работ нет необходимости использовать все имеющееся оборудование. Поэтому часто целесообразно определять оптимальную расстановку оборудования, принимая за критерий эффективности не затраты времени (или денежные), а выполнение объема работ, который необходимо максимизировать. В этом случае модель задачи будет иметь вид:

(18)

при ограничениях:

а) по выполнению минимально необходимого объема работ на участке

(19)

б) по количеству оборудования

(20)

в) по положительности решения

(21)

В этой модели объемы работ по участкам равноценны. В ряде же случаев бывает выгоднее увеличивать объемы на отдельных участках или пропорционально перевыполнять объемы на всех участках. В этом случае модель задачи изменяется в соответствии с конкретной обстановкой. Покажем это на примерах.

Автотранспортное хозяйство, имеющее автосамосвалы различной грузоподъемности, обслуживает несколько участков (участки карьеров, строительные участки, перевозка нерудных материалов и т.д.). Эффективность (производительность) работы автосамосвала зависит от его типа и участка работы (разница в длине откатки, типе погрузочного оборудования, характеристике дорог). Необходимо автосамосвалы распределить так, чтобы максимизировать общий объем работ, соблюдая плановое соотношение объемов работ между участками.

За управляемые переменные примем объем груза, вывозимый автосамосвалами с каждого участка, x_ij, где i - номер участка (i= 1, 2, . . ., n); j - тип самосвала (j = 1, 2, …, т).

Исходными данными (неуправляемыми переменными) являются:

Q_ij - производительность j-гo типа самосвала на i-м участке;

N_j - число самосвалов j-гo типа;

v_i - отношение объемов работ i-гo участка к общему объему работ, т.e. удельный вес каждого участка в общей производительности.

Исходя из постановки задачи, в качестве критерия эффективности принимаем суммарный объем работ, который надо максимизировать. В этом случае работа транспорта будет наиболее производительной, что, в свою очередь снизит и затраты на перевозку.

Целевая функция задачи будет иметь вид

(22)

При максимизации целевой функции должны быть учтены следующие ограничения:

а) по числу имеющихся автосамосвалов

(23)

б) по соблюдению планового соотношения объемов работ между участками

(24)

или

(24а)

в) по положительности решения

(25)

Данная модель относится к классу линейных.

На другом примере покажем, как учитывать ценность различных участков (видов работ) и необходимость соблюдения определенных соотношений объемов работ между участками, определяемых технологией ведения работ.

Карьер разрабатывает горизонтальное месторождение. Вскрышные породы по участкам отличаются своими физико-техническими свойствами. На вскрышных работах используются экскаваторы различных типов. Известна производительность экскаваторов по участкам. Требуется так расставить оборудование по уступам, чтобы обеспечить максимальный прирост вскрытых запасов.

Обозначим через i номер уступа (группы уступов), i = 1, 2, ..., n (нумерация начинается с верхнего уступа); j - тип экскаватора (j = 1, 2, ..., т); Q_ij - производительность j-гo экскаватора на i-м участке; N_j - число экскаваторов j-гo типа.

За управляемые переменные примем объем работ j-гo экскаватора на i-м уступе, х_ij. Так как прирост вскрытых запасов непосредственно обеспечивается удалением вскрышных пород с нижних уступов, необходимо учитывать приоритет нижних уступов (увеличивающуюся ценность объемов работ на нижних уступах). Обозначим K_i - коэффициент приоритета нижних уступов; он должен существенно возрастать с увеличением номера уступа.

Тогда целевую функцию можно представить следующим образом:

(26)

При решении задачи необходимо учитывать ограничения:

по количеству оборудования

(27)

и по положительности решения

(28)

Если в задаче нет других ограничений, то ответ простой: все экскаваторы надо использовать на нижнем уступе. Однако такой ответ неверен. Между уступами существует взаимосвязь, при их отработке должна сохраняться минимально допустимая по правилам технической эксплуатации рабочая площадка. Таким образом, в модели должны быть учтены еще и технологические ограничения, по которым не допускается подработка верхних уступов нижними. Эти ограничения при параллельном подвигании уступов записываются следующим образом:

(29)

где H_i - высота i-го уступа; L_i - длина фронта работ i-гo уступа.

Если на момент начала работ ширина рабочей площадки отличается от нормальной, то вместо нуля в ограничение вводится величина а, равная превышению (уменьшению) ширины рабочей площадки по сравнению с минимально допустимой.

Модель даже с учетом технологических ограничений является линейной. Если фронт перемещается по вееру или криволинейно, то формализация технологических ограничений существенно усложняется.