5. Процесс гибели и размножения
В теории массового обслуживания широкое распространение имеет специальный класс случайных процессов — так называемый процесс гибели и размножения. Название этого процесса связано с рядом биологических задач, где он является математической моделью изменения численности биологических популяций. Граф состояний процесса гибели и размножения имеет вид, показанный на следующем рисунке.
Рассмотрим упорядоченное множество состояний системы S0, S1, S2, …, Sk. Переходы могут осуществляться из любого состояния только в состояния с соседними номерами, т.е. из состояния Sk возможны переходы только либо в состояние Sk1, либо в состояние Sk+1.
Предположим, что все потоки событий, переводящие систему по стрелкам графа, простейшие с соответствующими интенсивностями k, k+1 или k+1,k.
По графу, представленному выше, составим и решим алгебраические уравнения для предельных вероятностей состояний (их существование вытекает из возможности перехода из каждого состояния в каждое другое и конечности числа состояний).
В соответствии с правилом составления таких уравнений получим: для состояния S0
01р0=10р1, (12)
для состояния S1 — (12+10)р1=01р0+21р2, которое с учетом (12) приводится к виду
12р1=21р2. (13)
Аналогично, записывая уравнения для предельных вероятностей других состояний, можно получить следующую систему уравнений:
(14)
к которой добавляется нормировочное условие
p0+p1+p2+…+pn=1. (15)
Решая систему (15.14), (15.15) можно получить
р0=
+
+…+
,
(16)
р1=
р0,
р1=
р0,
…, рn=
р0
(17)