§24. Характеристическая функция

Комплекснозначной случайной величиной называют функцию ξ₁(ω)+iξ₂(ω), где ω, (ξ₁, ξ₂) – случайный вектор.

Например, – комплекснозначная случайная величина. По определению положим

(1)

Определение. Характеристической функцией φ_ξ(t) случайной величины ξ называется математическое ожидание комплекснозначной случайной величины , т.е.

(2)

Если f(x) - плотность распределения случайной величины ξ, то согласно определению

(3)

Характеристическая функция определена для всех t(-∞,∞) и удовлетворяет условию Действительно,

Из (3) видно, что характеристическая функция есть прямое преобразование Фурье плотности f(x). Воспользовавшись обратным преобразованием Фурье, получим в точках непрерывности плотности (см. §5 гл. 3 ).

. (4)

Из (4) следует, что если характеристические функции двух случайных величин совпадают, то совпадают и их плотности (законы) распределения. Точнее, они могут отличаться, но на множестве точек меры нуль.

Рассмотрим некоторые свойства характеристической функции.

1. Если η = aξ + b, то Действительно, Свойство доказано.

2. Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению их характеристических функций, т.е.

Действительно,

.

Воспользовались теоремой о математическом ожидании от произведения независимых случайных величин (см. §20).

3. Если абсолютный начальный момент n-го порядка существует, т.е. то характеристическая функция φ_ξ(t) дифференцируема n раз, причем

, k = 0,1,…,n. (5)

Доказательство. Продифференцируем (3) k раз по t и убедимся, что полученный интеграл сходится.

. (6)

по условию.

Следовательно, дифференцирование законно. Из (6) при t=0 получим (5). Свойство доказано.

Разложим φ_ξ(t) в ряд Тейлора в окрестности точки t=0, ограничившись тремя членами разложения

. Согласно (5) φ(0)=1, φ^/(0)= iα₁ = im_ξ, φ^//(0)= i²α₂ = -(D_ξ+m_ξ²). Итак,

(7)

Рассмотрим случайную величину ξ с математическим ожиданием m_ξ= и дисперсией D_ξ=σ². Случайная величина

ξ* = (ξ–)/σ (8)

называется нормированной. Легко проверить, что M[ξ*]=0, D[ξ*]=1. Пусть ξ* распределена по стандартному нормальному закону, тогда ее плотность распределения Найдем ее характеристическую функцию. Согласно (3)

=

= =

= .

Мы воспользовались тем, что. Итак,

(9)

Из (8) найдем ξ=σξ*+. По свойству (1) и с учетом (9) получим характеристическую функцию случайной величины ξ.

(10)

Докажем, что (10) есть характеристическая функция нормального распределения N(,σ). Действительно, по формуле (4)

.

Итак, . (11)

Формула (11) доказывает наше утверждение. Таким образом, если случайная величина ξ распределена по нормальному закону N(,σ), то нормированная величина ξ* распределена по стандартному нормальному закону N(0,1).

§25. Понятие о центральной предельной теореме

Центральная предельная теорема устанавливает условия, при которых предельный закон распределения суммы случайных величин при n→∞, является нормальным. Под центральной предельной теоремой понимают группу теорем, которые отличаются друг от друга условиями, накладываемыми на распределения случайных величин ξ_i. Мы рассмотрим простейший случай, когда случайные величины ξ_i попарно независимые и одинаково распределены.

Теорема. Если ξ₁, ξ₂,…, ξ_n независимые случайные величины, имеющие один и тот же закон распределения, то при неограниченном увеличении n закон распределения суммы

(1)

стремится к нормальному.

Доказательство. Т.к. ξ_i одинаково распределены, то они имеют одни и те же числовые характеристики D[ξ_i]=σ². Тогда D[η_n]=nσ². Нормируем случайную величину . Получим

, (2)

здесь – центрированная случайная величина. Очевидно, .

Из §24 следует, что теорема будет доказана, если докажем, что характеристическая функция нормированной величины (2) при n→∞ стремится к функции

Пусть характеристическая функция центрированной величины равна φ(t), Разложим ее в ряд Тейлора в окрестности t=0, сохранив три члена разложения. Согласно (7) §24 имеем:

. (3)

Используя свойства (1) и (2) §24, найдем характеристическую функцию случайной величины .

.

Прологарифмируем последнее равенство

Последнее означает, что Теорема доказана.

Пусть - число появлений события А в n испытаниях Бернулли (см. §22). Параметрами случайной величины являются M[ξ]=np, D[ξ]=npq. Согласно доказанной теореме случайная величина ξ при больших n распределена приближенно по нормальному закону. Поэтому

. (4)

Здесь Ф(х) – интеграл вероятности. Формула (4) есть теорема Лапласа-Муавра.

При расчетах на ЭВМ неизбежны округления, что приводит к ошибкам результата вычислений (погрешность округления). Пусть – погрешность i-го округления. Будем считать ξ_i независимыми случайными величинами, равномерно распределенными на интервале (–_, ). Пусть производится n сложений, тогда – ошибка округления суммы. Если n достаточно велико, то согласно центральной предельной теореме суммарная ошибка ξ распределена по нормальному закону. Найдем его параметры. Очевидно, M[ξ_i]=0 в силу симметричности распределения, D[ξ_i]= (см. пр.4 §12). Тогда M[ξ]=0, . Если воспользоваться правилом "трех сигма" (см. п.7 §12), то можно считать, что ошибки округления не выйдут за границы интервала (-3σ_ξ, 3σ_ξ) или . Это утверждение называют правилом Чеботарева.