Лекция 4
Медицинская физика.
Механические колебания. Акустика
Уравнение механической волны
Механической волной называют механические возмущения, распространяющиеся в пространстве и несущие энергию.
Различают два основных вида механических волн: упругие волны (распространение упругих деформаций) и волны на поверхности жидкости.
Упругие волны возникают благодаря связям, существующим между частицами среды: перемещение одной частицы от положения равновесия приводит к перемещению соседних частиц.
Уравнение волны выражает зависимость смещения колеблющейся точки (s), участвующей в волновом процессе, от координаты ее равновесного положения и времени. Для волны, распространяющейся вдоль направления ОХ, эта зависимость записывается
в общем виде:
s = f(x,t).
Если s и х направлены вдоль одной прямой, то волна продольная, если они взаимно перпендикулярны, то волна поперечная.
Выведем уравнение плоской волны. Пусть волна распространяется вдоль оси ОХ (рис. 5.20) без затухания так, что амплитуды колебаний всех точек одинаковы и равны А. Зададим колебание точки с координатой х = 0 (источник колебаний) уравнением
До точки с некоторой произвольной координатой х возмущение от начала координат дойдет через время , поэтому колебания этой точки запаздывают:
Так как время и скорость распространения волны связаны зависимостью т = x/v, то получаем
Это и есть уравнение плоской волны, которое позволяет определить смещение любой точки, участвующей в волновом процессе, в любой момент времени. Аргумент при косинусе называют фазой волны. Множество точек, имеющих одновременно одинаковую фазу, называют фронтом волны. Для рассмотренного случая фронтом волны будет плоскость х = const (плоскость, перпендикулярная оси ОХ), всем точкам которой соответствует одновременно одинаковая фаза. Отсюда и название — плоская волна.
Скорость распространения фиксированной фазы колебаний называют фазовой. Предположим, что = const. Продифференцировав это равенство, получим 0 = (dt - dx/v), откуда
v = dx/dt.
Следовательно, скорость распространения фиксированной фазы колебаний и есть скорость распространения волны.
Кроме фазовой скорости различают еще групповую скорость, которую вводят тогда, когда реальная волна не может быть представлена одним гармоническим уравнением, а является суммой группы синусоидальных волн.
Длиной волны называют расстояние между двумя точками, фазы которых в один и тот же момент времени отличаются на 2. Она равна расстоянию, пройденному волной за период колебания:
Поток энергии и интенсивность волны
Волновой процесс связан с распространением энергии. Количественной характеристикой перенесенной энергии является поток энергии.
Поток энергии волн (Ф) характеризуется средней энергией, переносимой волнами в единицу времени через некоторую поверхность. Усреднение должно быть сделано за время, значительно большее периода колебаний.
Единицей потока энергии волн является ватт (Вт).
Найдем связь потока энергии волн с энергией колеблющихся точек и скоростью распространения волны.
Выделим объем среды, в которой распространяется волна, в виде прямоугольного параллелепипеда (рис.1); площадь его основания S, а длина ребра численно равна скорости v и совпадает с направлением распространения волны. В соответствии с этим за 1с сквозь площадку S пройдет та энергия, которой обладают колеблющиеся частицы в объеме параллелепипеда Sv. Это и есть поток энергии волн:
где < > — средняя объемная плотность энергии колебательного движения (среднее значение энергии колебательного движения частиц, участвующих в волновом процессе и расположенных в 1 м3). Поток энергии волн, отнесенный к площади, ориентированной перпендикулярно направлению распространения волн, называют плотностью потока энергии волн,
Единицей плотности потока энергии волн является ватт на Рис. 1
квадратный метр (Вт/м2).
Плотность потока энергии упругих волн пропорциональна плотности среды, квадрату амплитуды колебаний частиц, квадрату частоты колебаний и скорости распространения волны.
Эффект Доплера
Эффектом Доплера называют изменение частоты волн, воспринимаемых наблюдателем (приемником волн), вследствие относительного движения источника волн и наблюдателя.
Представим себе, что наблюдатель приближается со скоростью ин к неподвижному относительно среды источнику волн. При этом он встречает за один и тот же интервал времени больше волн, чем при отсутствии движения. Это означает, что воспринимаемая частота v' больше частоты волны, испускаемой источником. Но так как длина волны, частота и скорость распространения волны связаны соотношением
Другой случай: источник волн И движется со скоростью ии к неподвижному относительно среды наблюдателю (рис. 5.23, а). Так как источник движется вслед за испускаемой волной, то длина волны будет меньше, чем при неподвижном источнике. В самом деле, длина волны равна расстоянию между двумя точками с разностью фаз 2л. За время Т, равное одному периоду, волна распространится на расстояние X (рис. 5.23, б), источник волн переместится на расстояние АВ = v Т. Фазы точек В и С при этом различаются на 2тс; следовательно, расстояние между ними равно длине волны X', образуемой при движении источника излучения. Используя рис. 5.23 и зная, что
Эффект Доплера можно использовать для определения скорости движения тела в среде. Для медицинских применений это имеет особое значение. Рассмотрим подробнее такой случай.
Пусть генератор ультразвука совмещен с приемником в виде некоторой технической системы (рис. 5.24). Техническая система неподвижна относительно среды. В среде со скоростью v0 движется объект (тело). Генератор излучает ультразвук с частотой vr. Движущимся объектом, как наблюдателем, воспринимается частота Vj, которая может быть найдена по формуле (5.57):
где v — скорость распространения механической волны (ультразвука).
и называется доплеровским сдвигом частоты.
В медицинских приложениях скорость ультразвука значительно больше скорости движения объекта (). Для этих случаев из (5.64) имеем
Эффект Доплера используется для определения скорости кровотока, скорости движения клапанов и стенок сердца (доплеровская эхокардиография) и других органов.