9

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧЕРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра физики

Ен.Ф.03 физика ен.Ф.03 физика и биофизика

Лабораторная работа № 5

Изучение свободных колебаний пружинного маятника

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ

Уфа 2006

Лабораторная работа № 5

Изучение свободных колебаний пружинного маятника

Цель и задачи работы: Ознакомление с видами механических колебаний. Получение представления о параметрах, характеризующих колебательное движение. Изучение зависимости периода колебаний пружинного маятника от массы грузика. Определение коэффициента жесткости пружины, коэффициента сопротивления воздуха.

1 Общие сведения

Рассмотрим пружинный маятник - систему, состоящую из грузика массы m, подвешенного на невесомой упругой пружине (рисунок 1).

Будем характеризовать смещение грузика из положения равновесия координатой x, причем ось направим по вертикали вниз. Если подвесить на пружине (рисунок 1а) груз весом P = m × g, то нижний конец её сместится на величину x_ст, называемую статическим смещением (рисунок 1б). В этом положении статического равновесия сила тяжести будет уравновешиваться упругой силой по закону Гука F₀ = –k×x_ст. Здесь k – коэффициент пропорциональности, называемый жесткостью пружины.

Если сообщить грузику смещение A и предоставить систему самой себе, то под действием упругой силы грузик будет двигаться к положению равновесия. При этом потенциальная энергия системы убывает, одновременно скорость грузика, и, следовательно, кинетическая энергия системы увеличивается. Пройдя положение статического равновесия, движение грузика начинает замедляться. При этом потенциальная энергия системы увеличивается за счет кинетической энергии. Движение прекращается в тот момент времени, когда кинетическая энергия полностью превратится в потенциальную, т.е. когда смещение грузика станет равным –А. Если в системе отсутствует сопротивление среды, то полная энергия системы будет оставаться постоянной и грузик будет колебаться в пределах от x = А до x = –А неограниченно долго. Уравнение второго закона Ньютона для этого случая записывается в виде:

, (1)

здесь ускорение .

Введем обозначение:

, (2)

с учетом этого приведем (1) к виду:

. (3)

Уравнение (3) является дифференциальным уравнением свободных гармонических колебаний. Решение уравнения (3) имеет вид:

x = A  cos (₀t + ).

Таким образом, под действием возвращающей силы вида F = –kx грузик совершает гармонические колебания.

2 Описание установки и вывод расчетной формулы

Для выполнения работы используются пружинный маятник, закрепленный на штативе, набор грузиков, секундомер, мерная линейка.

а б в

Рисунок 1 Положения пружинного маятника: а – без грузика; б – с грузиком в отсутствии колебаний; в – при смещении x грузика от положения равновесия в процессе колебаний

Зависимость периода колебаний T от параметров пружинного маятника: .

Отсюда жесткость пружины выразится как:

. (4)

В реальных колебательных системах всегда часть энергии расходуется на работу по преодолению сил трения (например, силы сопротивления воздуха, сил внутреннего трения и т.д.). При этом амплитуда колебаний A уменьшается со временем до нуля. Такие колебания называются затухающими.

При рассмотрении колебания в среде (в том числе и в воздухе), обладающей вязкостью, необходимо учесть силу сопротивления среды, значение которой прямо пропорционально скорости:

, (5)

где r называется коэффициентом сопротивления среды;

– скорость колеблющегося тела.

В этом случае второй закон Ньютона принимает вид:

. (6)

Перепишем (6), обозначив r / m = 2 и k / m = ₀²:

, (7)

где  называется коэффициентом затухания.

Формула (7) является дифференциальным уравнением затухающих колебаний. При его решении можно рассмотреть 2 случая.

1) Случай малых затуханий  << ₀.

Потери энергии в системе малы. Решение имеет вид

x = A₀exp (–  t)  cos(t + ), (8)

где . Тогда период колебаний

(9)

увеличивается по сравнению с периодом незатухающих колебаний. Из выражения (8) следует, что амплитуда колебаний определяется следующим образом:

A(t) = A₀exp (–  t), (10)

т.е. со временем она убывает. Величина  = 1 /  называется временем релаксации – это время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e  2,72 раз.

Изменение амплитуды колебаний во времени при не очень больших затуханиях показано на рисунке 2а, где пунктирные линии изображают функцию (10).

а б

Рисунок 2 Зависимость смещения от времени: а – случай

малых затуханий  << ₀ ; б – апериодический режим  > ₀

Из закона убывания амплитуд (10) следует, что отношение любых двух амплитуд, отстоящих друг от друга на один период, есть величина постоянная: A(t)/A(t+T) = const = .

Величину  называют декрементом затухания. Часто пользуются также понятием логарифмический декремент затухания  = ln , который, как можно показать подстановкой  в (10) равен   T. Отсюда  = /T.

2) Случай  > ₀.

Потери энергии в системе велики. В этом случае в уравнении (7) третий член перестает играть существенную роль, и решение описывает апериодический режим движения (рисунок 2б).

Сопротивление среды, при котором колебания прекращаются, называется критическим. Оно находится из условия , или  = ₀: .

3 Порядок выполнения и требования

к оформлению результатов

Перед занятием необходимо законспектировать следующий теоретический материал:

- для неинженерных специальностей: /1/ С.88-91, 96-101;

- для инженерных специальностей: /2/ С.26, 255-261, 267-230; /3/ С.181-185, 190-197.

Занести в конспект методику выполнения работы, необходимые таблицы и формулы (разделы 2, 3).

3.1 Задание 1 Определение жесткости пружины

статическим методом

3.1.1 Подвесить на пружину груз известной массы и с помощью линейки определить статистическое смещение x_ст груза (x_ст = l – l₀, где l₀ – длина нерастянутой пружины, l – длина нагруженной пружины). Данные занести в таблицу 1.

3.1.2 То же самое проделать еще для двух грузов различной массы.

Таблица 1 Экспериментальные и расчетные величины

Обозначения физических величин
m, кг	xст, м	ki, Н/м	ki, Н/м	(ki)^2, (Н/м)^2
средние значения	—

3.1.3 По удлинению x_ст под действием соответствующей нагрузки P = mg определить жесткость: .

3.2.5 Найти среднее значение k_ст = , где n = 3 – количество опытов; абсолютные погрешности каждого измерения k_i = |k – k_i |; квадраты этих погрешностей (k_i)². Вычислить сумму квадратов . Результаты занести в таблицу.

3.2.6 Рассчитать среднеквадратическое отклонение:

.

По таблице коэффициентов Стьюдента из Приложения А найти t_p,n для n=3 и выбранной доверительной вероятности, например p=0,95.

Найти доверительный интервал k_ст =

3.2.7 Конечный результат представить в виде: k_ст =k_ст  k_ст .