- •Глава 12 Двойной интеграл.
- •12.1. Понятие двойного интеграла.
- •12. 2. Геометрический смысл двойного интеграла.
- •12.3. Вычисление двойных интегралов в прямоугольных декартовых координатах.
- •12.4. Правила вычисления двойных интегралов и порядок приведения двойного интеграла к повторному.
- •Решение практических задач
- •Примеры для самостоятельного решения.
Глава 12 Двойной интеграл.
12.1. Понятие двойного интеграла.
З а д а ч а. Найти объем цилиндрического тела, ограниченного сверху непрерывной поверхностью z = f (x, y) (f (x, y) > 0), снизу конечной замкнутой областью S плоскости Оху с образующей параллельной оси Оz.
Для вычисления объема V данного тела, разобьем основание его S на конечное число элементарных ячеек: ∆S1, ∆S2, …, ∆Sn. В каждой из этих ячеек выберем точку Мi (xi, yi, zi) ∈ ∆Si и построим прямой цилиндрический столбик с основанием ∆Si и высотой MiNi = f (xi, yi), равной аппликате поверхности в выбранной точке.
Тогда объем полученного столбика
Vi = f (xi, yi)∙∆Si,
где ∆Si – площадь соответствующей ячейки.
Сумма объемов всех цилиндрических столбиков представляет собой объем ступенчатого тела, приближенно заменяющего данное криволинейное тело, причем аппроксимация является, вообще говоря, тем более точной, чем меньше диаметр ячеек ∆Si. Поэтому объем цилиндроида приближенно выразится суммой
.
Данная формула дает возможность найти объем V с любой степенью точности, если число ячеек ∆Si достаточно велико и линейные размеры их весьма малы.
Обозначим через di диаметр ячейки ∆Si, т. е. её наибольший линейный размер (диаметр прямоугольника равен его диагонали, эллипса – его большой оси и т.д.). Тогда – наибольший из диаметров ∆S1, ∆S2, …, ∆Sn. Тогда
.
Выражение, стоящее в левой части данной формулы называется двойным интегралом от функции f (x, y), распространенным на области S и обозначается следующим образом
Следовательно, (12.1)
Определение. Двумерной интегральной суммой от данной функции f (x, y), распространенной на данную область S, называется сумма парных произведений площадей элементарных ячеек ∆Si области S на значения f (xi, yi) функции f (x, y) в выделенных точках этих ячеек, т. е.
Определение. Двумерным интегралом от функции f (x, y), распространенным на данную область S, называется предел соответствующей двумерной интегральной суммы при неограниченном возрастании числа п элементарных ячеек ∆Si и стремлении к нулю их наибольшего диаметра d при условии, что этот предел существует и не зависит от способа дробления области S на элементарные ячейки ∆Si и выбора точек в них, т. е.
где f (x, y) – подынтегральная функция;S – область интегрирования;
dS – элемент площади.
12. 2. Геометрический смысл двойного интеграла.
Если f (x, y) ³ 0, то двойной интеграл представляет собой объем прямого цилиндроида, построенного на области S как на основании и ограниченного сверху поверхностью z = f (x, y).
Так как значение двойного интеграла не зависит от вида элементарных ячеек, то в дальнейшем при решении задач мы будем использовать это обстоятельство, выбирая наиболее подходящие сетки. Очень часто удобной оказывается прямоугольная сетка, образованная пересечением двух систем прямых, параллельных соответственно координатным осям Ох и Оу.
В этом случае ∆Si – прямоугольники со сторонами ∆xi, ∆yj; а ∆Si = ∆xi∙∆yj.
Чтобы подчеркнуть использование прямоугольной сетки, элемент площади записывают в виде
dS = dx∙dy,
т. е. элемент площади в декартовых координатах является произведением дифференциалов независимых переменных.
Таким образом, в прямоугольной системе координат
. (12.2)
Свойства двойного интеграла.
1. .
Свойство справедливо для любого конечного числа функций.
2. .
Данное свойство справедливо для любого конечного числа областей Si.
3. Если область интегрирования S разбита на две части S1 и S2, то
.
Данное свойство справедливо для любого конечного числа областей Si.
4. , где S1 – площадь области S.
5. Если во всех точках области S выполняется условие U ³ V, то
.
6. Если U во всех точках области S удовлетворяет неравенствам m £ U £ M, то
,
где S1 – площадь области S.