Глава 3. Линии второго порядка § 1. Гипербола

Определение. Пусть на плоскости заданы две точки F₁ и F₂, расстояние между которыми равно 2c. Пусть, кроме того, задано положительное число a, меньшее c. Гиперболой называется множество точек той же плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до точек F₁ и F₂, называемых фокусами гиперболы, есть число постоянное, равное 2а.

Вывод канонического уравнения

Для вывода уравнения гиперболы, которое мы впоследствии назовём каноническим, выберем на плоскости прямоугольную декартову систему координат следующим образом: ось проведем через фокусы гиперболы, а ось – перпендикулярно ей через середину отрезка F₁F₂ (рис. 3.1). По определению гиперболе удовлетворяют те, и только те точки М плоскости, для которых

Рис. 3.1.

. (1)

Чтобы получить уравнение гиперболы остаётся только записать равенство (1) в координатах. В выбранной системе координат фокусы гиперболы имеют следующие координаты: F₁ (–c; 0); F₂ (c; 0). Координаты произвольной (или текущей) точки множества всегда обозначаются x и y. Таким образом, M(x; y). Так как

, ,

то уравнение (1) равносильно следующему:

, (2)

которое, в свою очередь, равносильно уравнению:

. (3)

Оба эти уравнения являются уравнениями гиперболы, но они имеют громоздкий вид, неудобны для использования и для запоминания, поэтому мы преобразуем их к более простому виду. Проведем следующую цепочку преобразований:

(3)

.

Учитывая, что , разделив последнее уравнение на , получаем:

. (4')

Так как , то , поэтому найдется такое положительное число , что . Теперь уравнение (4') примет вид:

. (4)

Мы доказали: если точка принадлежит гиперболе, то её координаты удовлетворяют уравнению (3) или (4).

Докажем обратное: если координаты точки удовлетворяют уравнению (4) или (3), то она принадлежит гиперболе. Итак,

{M (x; y) удовлетворяет (4)}

. (5)

Аналогично получаем:

. (6)

Находим разность расстояний:

[(4) ]=

=.

Таким образом, (4) – уравнение гиперболы, которое и называется её каноническим уравнением.

Исследование формы гиперболы по ее каноническому уравнению

1. Симметрия. Так как координаты x и y в уравнение (4) входят только в чётных степенях, то

{M₁(x₀; y₀) Г} {M₂(–x₀; y₀) Г, M₃(–x₀; –y₀) Г; M₄(x₀; –y₀)Г}.

Это означает, что гипербола (4) симметрична относительно координатных осей и начала координат. Оси симметрии гиперболы называются осями гиперболы, центр симметрии – ее центром.

2. Пересечение с осями. Если y = 0, то (4) {x = a}. Значит, гипербола пересекает ось в точках A₁ (–a; 0) и A₂ = (a; 0), которые называются вершинами гиперболы. Если же x = 0, то (4) решений не имеет, т.е. ось гипербола не пересекает. Та ось гиперболы, которую она пересекает, называется её действительной осью, а та, которую не пересекает – мнимой. Числа a и b называются полуосями гиперболы, действительной и мнимой соответственно.

3. В силу симметрии гиперболы ее достаточно нарисовать в первой координатной четверти, а затем продолжить рисунок по симметрии. Если , , то из (4) можно выразить y:

. (7)

Если x = a, то y = 0, если же , то и . Вычислим производную:

.

Если , то , поэтому гипербола в вершине имеет вертикальную касательную.

4

. Асимптотами гиперболы (4) называются прямые . Рассмотрим ту из них, которая проходит в первой четверти:

. (8)

С

равнивая (7) и (8), видим, что : , значит, гипербола расположена ниже своей асимптоты. Кроме того, ели М – точка гиперболы, Р – точка её асимптоты Рис. 3.2. с такой же первой координатой, –расстояние от М до гиперболы (рис.3.2), то

.

С ледовательно, при неограниченном удалении от начала координат гипербола бесконечно близко приближается к своей асимптоте, не пересекая ее.

Теперь можно приступить к рисованию. По обе стороны от начала координат откладываем на действительной оси действительные полуоси, а на мнимой – мнимые. Рисуем прямоугольник, стороны которого проходят через полученные точки параллельно осям координат. Точки пересечения прямоугольника с действительной осью – это вершины гиперболы и . Затем проводим диагонали прямоугольника и продляем их – это асимптоты гиперболы. Рисуем гиперболу сначала в первой четверти, начиная от вершины и неограниченно приближая её к асимптоте, а затем продолжаем по симметрии в остальные координатные четверти (рис. 3.3).

В заключение параграфа отметим, что уравнение задаёт гиперболу, действительной осью которой является ось , а школьное уравнение при – это уравнение гиперболы с перпендикулярными асимптотами, составленное относительно её асимптот.