Методичні вказівки і завдання для ОКР

з дисципліни «Алгебра та геометрія»

тема «Поліноми»

Обов’язкова контрольна робота №2 поліноми

1 Кубічні рівняння.

Загальне кубі́чне рівня́ння — рівняння виду

, (1)

де - змінна, - сталі, .

Розділимо (1) на . Одержимо зведене кубічне рівняння

(2)

Для того, щоб отримати загальний розв'язок кубічного рівняння, потрібно його звести до неповного кубічного рівняння застосувавши підстановку

. (3)

Неповне кубічне рівняння має вигляд.

(4)

Це можна зробити провівши заміну змінної

Одним з найвідоміших методів розв’язання канонічного кубічного рівняння є Метод Гудде.

Розглянемо його детальніше.

Розглянемо неповне кубічне рівняння (4)

Представимо невідому у вигляді , де і - допоміжні невідомі. Це завжди можливо. Підставимо у рівняння, отримаємо

Після перетворення отримаємо

Введемо додаткову умову для невідомих, а саме:

=0

З цієї умови маємо

або (5)

Маємо суму і добуток двох невідомих - та . Якщо прийняти , то за теоремою Вієта такі невідомі є коренями квадратного рівняння

.

Розв’язок цього рівняння буде таким

або

З останнього маємо

Оскільки кубічний радикал для комплексних чисел має три значення, і, відповідно, невідома приймає дев’ять різних значень,то нам необхідно мати спосіб відібрати з цієї множини ті, які дійсно є коренями рівняння (4). Таким способом відбору є (5):

З цієї формули витікає співвідношення між і :

. (6)

Отже ми на практиці можемо обчислити будь який з трьох радикалів для , а далі знайти з формули (6).

Перший корінь неповного кубічного рівняння (4) згідно припущення буде

, (7)

Або

Два інших кореня рівняння (4) дають формули

^ (8)

Формула (7) називається формулою Кардано для розв’язання кубічних рівнянь.

Аналіз розв’язків кубічного рівняння (4) проводять з використанням дискримінанту рівняння .

Мають місце такі випадки:

1. - рівняння (4) має один дійсний і два уявні корені.

2. - рівняння (4) має три дійсних кореня, причому два з них співпадають. Інколи співпадають усі 3 кореня.

3. - рівняння (4) має три простих дійсних кореня.

Після знаходження коренів канонічного кубічного рівняння (4) необхідно знайти корені зведеного рівняння (2). Для цього необхідно у заміну підставити значення коренів .

Приклади

Приклад 1 Розв’язати кубічне рівняння:

Розв’язання.

1. В цьому рівнянні . Зводимо кубічне рівняння, розділивши ліву і праву частину на :

,

Отримали, що .

Виконаємо підстановку (3), отримаємо неповне кубічне рівняння:

.

Підставимо у рівняння

Розкриємо дужки

Неповне кубічне рівняння -

2. Виконаємо аналіз. Обчислимо дискримінант рівняння.

, отже маємо випадок 1 – рівняння має один дійсний корінь і два уявні.

Перевіряємо зв’язок і за (5): . Зв’язок виконується.

Розв’язок вихідного рівняння знайдемо виконавши заміну

Відповідь

Кубічне рівняння має розв’язки

Перевірка.

Усі три кореня задовольняють рівняння.

Приклад 2 Розв’язати кубічне рівняння:

Розв’язання.

Дане рівняння має одразу неповний вигляд, . Проведемо аналіз рівняння. Обчислимо дискримінант:

- рівняння має 3 дійсних кореня, причому 2 з них однакові.

Перевіряємо зв’язок і за (5): . Зв’язок виконується.

Відповідь

Кубічне рівняння має розв’язки

Перевірка.

Усі три кореня задовольняють рівняння.