Індивідуальне завдання 2.2

Для поліномів та з індивідуального завдання 2.1

• Визначити найбільший спільний дільник (НСД);

• Використовуючи алгоритм Евкліда подати НСД поліномів через лінійну комбінацію цих поліномів. Визначити функції та з лінійного подання. Зробити перевірку результату.

4 Розкладання полінома на кратні та незвідні множники.

В алгебрі поліномів над довільними полями однією з важливих задач є задача розкладання полінома на незвідні множники. Розв’язання цієї задачі базується на таких твердженнях:

– будь який поліном першого степеня є незвідним;

– якщо поліном є незвідним, то незвідним буде будь який поліном ;

– якщо - довільний поліном, а - незвідний, то або ділиться на , тобто , або поліноми та є взаємно простими, тобто ;

– якщо добуток двох поліномів та ділиться на незвідний поліном , то обов’язково або або ділится на .

Наслідком цих тверджень є таке:

Якщо поліном з дійсними коефіцієнтами двома способами розкладено на незвідні множники то

– ;

– після відповідного впорядкування вірними будуть такі рівності:

Останнє твердження забезпечує єдиність розкладання полінома на незвідні множники. З урахуванням того, що деякі незвідні множники можуть входити до розкладання полінома не однократно, таке єдине подання буде мати вигляд

.

У зв’язку з тим, що в розкладанні врахована кратність входження незвідних поліномів, розв’язання задачі розкладання на незвідні множники почнемо з задачі розкладання на кратні множники.

Розглянемо алгоритм розкладання полінома на кратні множники.

Будемо вважати, що в розкладання поліноми входять з кратностями від 1 до n включно. Позначимо

– через добуток всіх поліномів, які входять у з кратністю 1. Поліноми, що входять до можуть мати степені від 1 до n;

– через добуток всіх поліномів, які входять у з кратністю 2.

…………………………………

– через добуток всіх поліномів, які входять у з кратністю .

Тоді початкове розкладання полінома на кратні множники буде виглядати так:

На першому етапі знайдемо максимальну кратність поліномів, що входять до розкладання . Позначимо її .

Етап І.

1. а) Знаходимо похідну від за змінною :

,

де - поліном, який залишився в дужках після виносу спільного множника.

б) Знаходимо НСД між і :

Степінь менша за степінь .

2. а) Знаходимо похідну від за змінною :

б) Знаходимо НСД між і :

Степінь менша за степінь .

…………………………………….

S. . а) Знаходимо похідну від за змінною :

б) Знаходимо НСД між і :

Процес знаходження спільних дільників закінчено.

Максимальна кратність входження поліномів у розкладання становить .

Розкладання можна записати більш точно

При цьому - добуток ненульових поліномів нульового степеня.

Етап 2.

Виділяємо із знайдених спільних дільників добуток складових в першому степені.

1.

2.

…………………………….

S-1.

S.

На останньому кроці другого етапу знайшли поліном, який є добутком поліномів, які входять в розкладання з кратністю - .

Етап 3.

Діленням знаходимо складові в розкладанні полінома на кратні множники.

1.

2.

…………………………….

S-1.

Розкладання на кратні множники відбулося. Залишилось перевірити, чи є поліноми незвідними для .

Приклад.

Відокремити кратні множники поліному.

Розв’язання.

Етап І.

1. а) Знаходимо похідну від за змінною :



б) Знаходимо НСД між і :

_1	0	-6	-4	9	12	4	1	0	-4	-2	3	2
1	0	-4	-2	3	2	0	1
	:(-2)	-2	-2	6	10	4
		1	1	-3	-5	-2

Перша остача

_1	0	-4	-2	3	2	1	1	-3	-5	-2
1	1	-3	-5	-2	0	1	-1
	_-1	-1	3	5	2
	-1	-1	3	5	2
	0	0	0	0	0

2. а) Знаходимо похідну від :

б) Знаходимо НСД між і :

	1	1	-3	-5	-2	4	3	-6	-5
4	_4	4	-12	-20	-8	1	1
	4	3	-6	-5	0
	0	1	-6	-15	-8
	4	_4	-24	-60	-32
		4	3	-6	-5
		0	-27	-54	-27
		:(-27)	1	2	1

Перша остача

_4	3	-6	-5	1	2	1
4	8	4		4	-5
	_-5	-10	-5
	-5	-10	-5
	0	0	0

3. а) Знаходимо похідну від :



б) Знаходимо НСД між і :

4. а) Знаходимо похідну від за змінною :

б) Знаходимо НСД між і :

Процес знаходження спільних дільників закінчено.

Максимальна кратність входження поліномів у розкладання становить .

Розкладання можна записати більш точно

При цьому - добуток ненульових поліномів нульового степеня.

Етап 2.

Виділяємо із знайдених спільних дільників добуток складових в першому степені.

1. Ділимо поліном на перший НСД.

на .

1	0	-6	-4	9	12	4	1	1	-3	-5	-2
1	1	-3	-5	-2			1	-1	-2
0	-1	-3	1	11	12	4
	-1	-1	3	5	2	0
	0	-2	-2	6	10	4
		-2	-2	6	10	4
		0	0	0	0	0

2. Ділимо на .

1	1	-3	-5	-2	1	2	1
1	2	1			1	-1	-2
0	-1	-4	-5	-2
	-1	-2	-1	0
	0	-2	-4	-2
		-2	-4	-2
		0	0	0

3.

4.

Незвідний поліном входить до розкладання поліному у 4-му степені.

Етап 3.

Діленням знаходимо складові в розкладанні полінома на кратні множники.

1. ; 2.

3.

Розкладання на кратні множники відбулося.

Поліном розклали і на кратні, і на незвідні множники, оскільки біноми, на які відбулося розкладання, є незвідними поліномами.

Коренями даного поліному будуть числа