7.2. Кольцо многочленов
Рассмотрим множество многочленов (полиномов) от переменной х над числовым полем Р, т. е. выражения вида , где п - целое неотрицательное число, а коэффициенты многочлена а0, а1,…, ап - числа из поля Р (действительные или комплексные). Наибольшее число п, при котором ап 0, называется степенью многочлена и обозначается deg f(x). Два многочлена и тождественно равны, если п = т и . Определим на множестве многочленов два внутренних закона - аддитивный и мультипликативный.
Сумма двух многочленов f(x) + g(x) - это многочлен, у которого коэффициент при каждой степени переменного х равен сумме коэффициентов многочленов f(x) и g(x) при той же степени х. Если степени складываемых многочленов не равны, то многочлен меньшей степени дополняется до старшей степени членами с нулевыми коэффициентами. При этом
deg [f(x) + g(x)] max [deg f(x), deg g(x)].
Поскольку операция сложения многочленов определяется через сложение его коэффициентов, а сложение чисел ассоциативно и коммутативно, то операция сложения многочленов также ассоциативна и коммутативна. Нейтральным элементом относительно сложения является многочлен, все коэффициенты которого нули. Всякий многочлен f(x) обладает симметричным ему, все коэффициенты которого противоположны коэффициентам f(x), т. е. . Следовательно, множество многочленов является абелевой группой относительно сложения.
Произведение двух многочленов определяется как многочлен f(x)g(x), получающийся умножением каждого члена многочлена f(x) на каждый член многочлена g(x), суммированием полученных произведений и приведением подобных членов. Очевидно,
deg [f(x)g(x)] = deg f(x) + deg g(x).
Операция умножения многочленов ассоциативна, коммутативна и дистрибутивна относительно сложения. Нейтральным элементом относительно умножения служит многочлен, у которого а0 = 1, а все остальные коэффициенты равны нулю. Коммутативность и ассоциативность умножения доказывается аналогично сложению.
Таким образом, множество многочленов есть коммутативное кольцо. Это кольцо также унитарно (кольцо с единицей). Можно показать, что множество многочленов не имеет делителей нуля, следовательно, оно есть кольцо целостности.
Любой многочлен можно единственным образом представить в виде ,
где - частное от деления f(x) на g(x), а - остаток. При этом deg r(x) < deg g(x), а также, если deg f(x) deg g(x), то
deg q(x) = deg f(x) - deg g(x).
Число λ называют нулем многочлена f(x), если f() = 0. Говорят также, что есть корень уравнения f(х) = 0. Для того чтобы был нулем многочленf f(x), необходимо и достаточно, чтобы этот многочлен делился без остатка на х-. Если многочлен f(x) делится без остатка на (х-)s, где s - наибольшее натуральное число, для которого такое деление возможно, то называется нулем кратности s. Нуль кратности единица называется простым.
Основная теорема алгебры утверждает, что многочлен п-й степени с действительными коэффициентами имеет не более п различных действительных нулей. Если многочлен рассматривается над полем комплексных чисел, то с учетом кратности корней их общее число всегда равно п.