7.5. Поле комплексных чисел
Комплексное число , где - действительная часть и - мнимая часть, можно рассматривать как упорядоченную пару (а, b) двух действительных чисел, которые являются элементами множества R.
На множестве комплексных чисел определяются два внутренних закона - сложение и умножение:
; .
Два числа z1 и z2 равны, если a1 = a2 и b1 = b2.
В принятых обозначениях i = (0,1), следовательно, i2 = (0,1)(0,1) = (-1,0) или i2 = -1. Действия над комплексными числами в форме можно выполнять как с действительными числами, заменяя всякий раз i2 на -1.
Числом, комплексно-сопряженным с числом г = а + bi, является число . Справедливы следующие соотношения:
.
Множество комплексных чисел составляет коммутативную группу относительно сложения. Действительно, сложение коммутативно и ассоциативно, нейтральным элементом служит нуль (0, 0), а симметричное числу есть .
Относительно умножения нейтральным элементом является единица (1, 0), и всякое отличное от нуля комплексное число имеет симметричное (обратное)
,
где - модуль комплексного числа. Т.к. умножение дистрибутивно относительно сложения, то множество комплексных чисел составляет поле.
Указанное представление называется представлением комплексного числа в алгебраической форме. Комплексное число представляется также в тригонометрической и экспоненциальной форме:
Здесь - модуль и - аргумент комплексного числа, определяемый с точностью до целого кратного 2π, причем .
Указанное представление удобно для вычисления произведения двух комплексных чисел:
.
Таким образом, и .
Геометрически представление комплексных чисел представлено на рис. 7.1а. Суммированию комплексных чисел соответствует геометрическое сложение векторов на комплексной плоскости (рис. 7.1б). Отсюда, в частности, следует (правило треугольника).
а) |
б) |
Рис. 7.1. Геометрическое представление комплексных чисел |
7.6. Тело кватернионов
Первой системой на пути обобщения комплексных чисел явились кватернионы, т. е. выражения вида , где а, b, с, d - действительные числа, а символы i, j, k также называют кватернионами. Число а - действительная часть, а сумма - векторная часть кватерниона.
На множестве кватернионов определяют два внутренних закона. Аддитивный закон задается подобно сложению комплексных чисел, т.е. сумма кватернионов и есть
.
Очевидно, этот закон ассоциативный и коммутативный. Нейтральным элементом относительно сложения служит , а симметричным к элементу q есть элемент .
Чтобы множество кватернионов было телом, мультипликативный закон (умножение кватернионов) должен быть ассоциативным и дистрибутивным относительно сложения. Это достигается, с одной стороны, определением мультипликативного закона подобно умножению многочленных алгебраических выражений и, с другой стороны, заданием правила умножения кватернионов, которое в наиболее лаконичной записи имеет вид:
,
где порядок сомножителей в произведении ijk строго фиксирован. Отсюда также следует
.
Действительно, умножая справа на k обе части равенства ijk = -1, имеем ijk2 = -k или ij = k. Умножая полученное уравнение на j справа или на i слева, получаем соответственно -i = kj или -j = ik и т. д.
Геометрически умножение кватернионов легко представить с помощью диаграммы (рис. 7.2): произведение двух кватернионов равно третьему со знаком «+», если поворот от первого сомножителя ко второму осуществляется по часовой стрелке, и со знаком «-», если поворот против часовой стрелки. |
|
Рис.7.2. Умножение кватернионов |
Нетрудно проверить, что мультипликативный закон (умножение кватернионов) не коммутативный (проверяется непосредственным умножением с учетом изложенных выше правил). Нейтральным элементом относительно умножения служит единица, рассматриваемая как кватернион, у которого а = 1 и b = с = d = 0. Можно также показать, что относительно умножения каждый кватернион имеет симметричный (обратный) ему
,
где число называют нормой кватерниона. Итак, множество кватернионов, наделенное описанными выше двумя внутренними законами композиции, образует тело.
В механике кватернионы применяются при решении задач, связанных с вращениями твердого тела в пространстве.