2.3. Модель дуополии Штакельберга

В модели Штакельберга олигополисты выбирают две линии поведения: лидера и последователя.

Последователь будет реагировать на действия лидера, приспосабливая свой выпуск в соответствии с выпуском лидера. В свою очередь последователь предполагает, что на его действия не реагируют.

Лидер придерживается противоположной точки зрения, его выбор ведет к изменению ожиданий последователя, и это он учитывает при принятии своих решений.

Алгоритм решение задачи похож на вариант модели Курно, но необходимо учитывать разделение функций лидера и последователя. (Но как будет понятно ниже, для решения задач по модели Штакельберга необходимо в начале посчитать модель Курно).

Рассмотри модель в которой 1-производитель Лидер, а 2-последователь

Следовательно, , где и является по сути первым уравнением реакции в модели Курно,

а , где и является вторым уравнением реакции в модели Курно

Предположим, что отраслевой спрос представлен формулой

, где Q – общий выпуск двух фирм

Подставив, получим:

Функции затрат - прямые пропорциональности от выпуска каждой из фирм:, а , для удобства предположим что

Прибыль Лидера будет равна

Прибыль Последователя будет равна:

отсюда можно вывести уравнение реакции для Лидера и фирмы Последователя.

Так как уравнения реакции в модели Курно:

то в соответствии с условиями модели ,

а

Следовательно условия максимизации прибыли примут вид:

Уравнения реакции Лидера и Последователя будут иметь следующий вид:

Лидер

Последователь

Решив систему из уравнений реакции Лидера и Последователя получим равновесные выпуски для них.

Лидер

Последователь

Мы видим, выпуск лидера в два раза превышает выпуск последователя. Теперь можно определить как это отразится на прибыли дуополистов.

Поэтому мы можем прийти к выводу что фирме выгодно выбирать стратегию лидера.

2.4. Методы теории игр для анализа поведения олигополии.

Для анализа олигополистического поведения используются методы теории игр. Тория игр представляет собой науку, исследующую математическими методами поведение участников в вероятностных ситуациях связанных с принятием решений.

Простейшим примером такого использования является платежная матрица. Платежная матрица представляет собой двухстороннюю таблицу, образованную множеством квадратов, каждый из которых каждый из которых представляет результат решения одного из двух продавцов.

Игры могут быть классифицированы по свойствам платежных функций. Играми с нулевой суммой (антагонистическими) называется ситуация, когда выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого. Противоположностью играм с нулевой суммой являются игры с постоянной разностью, в которых игроки выигрывают и проигрывают одновременно, так что им выгодно действовать сообща. Игры с ненулевой суммой представляют собой промежуточный случай, где имеются конфликты и согласованные действия игроков.

По характеру предварительной договоренности игры делятся на кооперативные (когда существует сговор) и некооперативные (когда каждый за себя).

Например, уже известная нам модель Курно представляет собой некооперативную игру с ненулевой суммой.

Если фирмы будут конкурировать, то положение равновесия будет достигнуто в квадрате D, где прибыль каждого будет равна нулю. Такое решение получило название равновесия Нэша.

Таблица 1 - Платежная матрица

Цена 2-го Цена 1-го продавца продавца	10	5
10	А 100 100	В 200 - 100
5	С -100 200	D 0 0

Если фирмы будут конкурировать, то положение равновесия будет достигнуто в квадрате D, где прибыль каждого будет равна нулю. Такое решение получило название равновесия Нэша.

Равновесием Нэша называется такое решение игры, от которого нет оснований отказываться ни одному из игроков в одиночку.

В случае конкуренции рассмотренный случай соответствует уже известной нам модели Бертрана.

Если продавцы договариваются между собой, т.е. образуют картель, то этот сговор приносит им максимальную прибыль, которая представлена в квадрате А.

Дилемма заключенного является одним из вариантов платежной матрицы и заключается в следующем: Два заключенных поставлены перед дилеммой, либо они не сознаются в преступлении и тогда получают по одному году заключения каждый, либо сознается кто-то один, который за признание отправляется в тюрьму на несколько месяцев, но другой получает 15 лет. Если они сознаются оба, то получают оба по 7 лет. Вся проблема заключается в том, что каждый поставлен перед своей дилеммой отдельно.

Таблица 2 - Дилемма заключенного

Второй Первый заключенный заключенный	Не сознался	Сознался
Не сознался	А 1 год 1 год	В 2 месяца 15 лет
Сознался	С 15 лет 2 месяца	D 7 лет 7 лет

Наиболее вероятное решение в этом случае может быть достигнуто в квадрате D, когда каждый получит по 7 лет. Но этот результат вероятен, если они не могут между собой договорится. Если сговор возможен, то они получают по одному году. По аналогии с продавцами, ситуация демонстрирует желание продавцов вступать в сговор на рынке для достижения наиболее благоприятного для каждого из них результата, вместо того чтобы конкурировать и снижать свои прибыли до минимума (квадрат D).

Рассмотрим более сложную модель в которой доступно большее число стратегий для иллюстрации равновесия Нэша.

Отсутствие стимулов к изменению своего выбора если остальные игроки (конкуренты) придерживаются принятого решения - есть равновесие по Нэшу

Предположим, что есть два игрока А и В. Каждый игрок осуществляет выбор в зависимости от стратегии другого игрока. Предполагается, что игра является антагонистической с нулевой суммой. На рисунке ниже представлена матрица выигрышей первого игрока

Матрица выигрышей второго игрока равна

Таблица 3 - Матрица выигрышей второго игрока

	b1	b2
a1	10	2
a2	4	-6
a3	3	5

A(b₁) - выбор игрока в зависимости от выбора стратегии игрока В

Игроку А доступны следующие решения в зависимости от стратегии В:

А игроку В следующие:

Таким образом здесь нет равновесия Нэша

Рассмотрим другой числовой пример:

Таблица 4 – Числовой пример

	b1	b2
a1	10	2
a2	4	-6
a3	3	2

Игроку А доступны следующие решения в зависимости от стратегии В:

А игроку В следующие:

Таким образом равновесие Нэша будет наблюдаться тогда, когда Игроки А и В выберут стратегии a₃ и b₂ соответственно.