Занятие 1

Основные понятия математики, используемые в финансовых вычислениях

Процент – это одна сотая доля величины.

Прогрессия – последовательность чисел, построенная по определенным правилам.

Арифметическая прогрессия – это числовая последовательность, для которой разность любых двух соседних чисел есть величина постоянная.

Любой член последовательности находится по формуле: a_n= a₁+d(n-1),

где d-разность арифметической прогрессии,

n-порядковый номер элемента последовательности.

Сумма арифметической прогрессии находится по формуле: .

Геометрическая прогрессия – это числовая последовательность, для которой отношение любых двух соседних чисел есть величина постоянная.

Любой член последовательности находится по формуле: a_n= a₁*q^n-1,

где q-знаменатель геометрической прогрессии,

n-порядковый номер элемента последовательности.

Сумма возрастающей геометрической прогрессии находится по формуле: .

Сумма убывающей геометрической прогрессии находится по формуле: .

Пример 1. Пусть S=1000руб. – это первоначальный вклад в банк, на которые начисляются простые проценты по ставке r =10%. Найти последовательность наращенных сумм за n=3 промежутка начисления.

Пример 2. Господин N старается спланировать должным образом приближающийся выход на пенсию. Брокер по ценным инвестиционным бумагам предложил схему, согласно которой господин N платит крупную сумму фирме, а в обмен получает гарантированный ежемесячный доход в 300 дол. Более того, каждый месяц доход будет увеличиваться на 40 дол. Какова будет ситуация через пять лет?

Экономическая теория процента. Простые и сложные проценты.

1. К концу n-го промежутка начисления по простым процентам наращенная сумма рассчитывается по формуле:

F_n= P(1+nr) (1).

2. Каждая следующая сумма при наращении сложных процентов по ставке r возрастает на долю r от предыдущей суммы и рассчитывается по формуле: F_n=P(1+ r)ⁿ. (2)

3. Процентные деньги (проценты) – это величина дохода, равная D_n=F_n-P (3).

4. Правило 72. Если процентная ставка есть , то удвоение капитала по такой ставке происходит примерно за 72/ лет. Это правило применяется для небольших ставок, рассчитываемых по сложным процентам.

5. Достаточно обыденными являются финансовые контракты, заключаемые на период, отличающийся от целого числа лет. В этом случае проценты могут начисляться с помощью следующих методов:

• По схеме сложных процентов

• По смешанной схеме (используется схема сложных процентов для целого числа лет и схема простых процентов для дробной части года):

6. Логика финансовых вычислений

Существует две основные схемы финансовых вычислений:

Вопросы

1. Определение числовой последовательности.

2. Арифметическая прогрессия, n-й член арифметической прогрессии, сумма арифметической прогрессии.

3. Определение геометрической прогрессии, n-й член геометрической прогрессии, сумма геометрической прогрессии.

4. Понятие процента в математике.

5. Чем отличаются абсолютные и относительные стоимости?

6. Оценки эффективности финансовых операций

7. Чем отличаются две основные схемы финансовых вычислений?

8. Какие факторы влияют на:

   1. общий уровень процентных ставок,

   2. временную структуру процентных ставок,

   3. качественную структуру процентных ставок?

9. В чем разница между простыми и сложными процентами?

10. Мультиплицирующие множители, их экономический смысл.

11. Непрерывное наращение, когда его используют?

12. Какой тип наращения предпочтителен при хранении денег в банке?

13. В контракте оговорены данные о сумме, которую можно получить через 3 года. Какие расчетные формулы и почему следует использовать при продаже контракта сразу после его заключения?

14. Докажите строго, что при одной и той же ставке r наращение сложных процентов идет быстрее чем простых процентов, при длине периода наращения, более единичного, и медленнее, если период наращения менее единичного.

15. Поясните «Правило 72». Когда его можно использовать?

16. Какая схема начисления и почему более выгодна при начислении процентов за дробное число лет?

Пример 1.. Депозит в 200 тыс. руб. положен в банк на 4 года под 15% годовых. Найти наращенную сумму, если ежегодно начисляются сложные проценты.

349801

Пример 2. Годовая ставка простых процентов равна 8,3%. Через сколько лет начальная сумма удвоится?

13

Пример.3. Пусть P=1000, r = 10%. Найти наращенную сумму за за n=3 промежутка начисления.

1030,3

Пример.4. Годовая ставка сложных процентов равна r =8%. Через сколько лет начальная сумма удвоится?

9лет

Пример.5. М.Е. Салтыков-Щедрин описывает в «Господах Головлевых» такую сцену: «Порфирий Владимирович сидит у себя в кабинете, исписывая цифирными выкладками листы бумаги. На этот раз его занимает вопрос: сколько было бы у него теперь денег, если бы маменька подаренные ему при рождении дедушкой «на зубок» сто рублей не присвоила себе, а положила в ломбард на имя малолетнего Порфирия? Выходит, однако, немного: всего восемьсот рублей».

Требуется рассчитать по приведенным цифрам, какой процент платил в то время ломбард по вкладам. Возраст Порфирия в момент его расчетов примем равным пятидесяти годам.

4%

Пример 6. Чему равна будущая стоимость одной денежной единицы через 9 лет при ставке процента 10%.

2,36

Пример 8. Пусть сумма начального вклада Р=750 у.е. наращивается по годовой ставке r=20%. Принятая схема начисления: по простым процентам. Подсчитать проценты за n=4 промежутков начисления (лет). Представить последовательность наращенных сумм за 4 года.

Пример 9. Предприниматель получил в банке ссуду в размере 25 тыс. руб. сроком на 6 лет на следующих условиях: для первого года процентная ставка равна 10% годовых, на следующие 2 года устанавливается маржа в размере 0,4% и на последующие годы маржа равна 0,7%. Найти сумму, которую предприниматель должен вернуть в банк по окончании срока ссуды по схеме простых и сложных процентов.

сложные 47511,98

простые 41950

Пример 10. Вкладчик поместил в банк 15 тыс. руб. на след. условиях: в 1-й год процентная ставка равна 20% годовых, каждые последующие полгода ставка повышается на 3%. Найти наращенную сумму за 2 года, если проценты начисляются только на первоначальную сумму вклада.

26250

Пример 11. Найти наращенную сумму за два года, если в предыдущем примере с изменением ставки происходит одновременно и капитализация процентного дохода.

37347

Пример 12. Товар ценой в 3 тыс. руб. продается в кредит на 2 года под 12% годовых с ежеквартальными равными погасительными платежами, причем начисляются простые проценты. Определить долг с процентами, проценты и величину разового погасительного платежа.

3720

720

Пример 13. Клиент обратился в банк 12 апреля с целью получения кредита под залог 300 ценных бумаг, причем курсовая стоимость каждой ценной бумаги на этот день составляет 100 рублей. Банк предоставляет кредит под 10% годовых на 3 месяца в размере 80% курсовой стоимости ценных бумаг. В контракте с клиентом оговаривается, что затраты банка на обслуживание долга составляют 1% от номинальной суммы кредита и удерживаются вместе с процентным платежом в момент предоставления кредита. В случае просрочки выплаты долга клиент рассчитывается с банком за каждый лишний день по ставке 12% годовых. Найти величину кредита, который получит клиент.

23160

Пример 14. Предпринимателю необходима сумма в 40 тыс. руб. на 3 месяца. Банк предоставит ему кредит в размере 75% от стоимости залога под 12% годовых и за обслуживание долга взыщет 400 руб. Определить величину залога, если кредит взят 15 мая.

55532,64

Пример 15. В 1624г. остров Манхэттен (центр Нью-Йорка) был куплен у индейского вождя за 24 долл. Чему равна это сумма в 2000 г., если средний процент по долгосрочным займам в ХХ веке в США составлял 6,3%?

2,273624301*10¹¹

Пример 16. В условиях ползучей инфляции (2-5% в год) простые проценты начисляются на вклады и кредиты сроком до года. Более того, встречаются случаи начисления простых процентов и на больший срок. Хотя в значительной мере такие проценты есть перевод результатов расчетов по сложным процентам в простые. Банкиры просто пересчитывают вклады на разные сроки по формуле сложного процента. Так если банк дает 70% годовых за месячный депозит, то чему должна быть равна трехмесячная ставка? Какой процент в этом случае должен получить банк за трехмесячный кредит (в процентах годовых).

66%

Пример 17. Пусть некоторая величина составляет 30%. Чему будет равно увеличение доли этой величины, если произошел ее 5% рост?

на 1%