§ 4.5. Частный и множественный коэффициенты корреляции

Пусть имеется не две, а больше переменных. Обозначим их X₁, X₂, …, X_m . Например

Х₁ – себестоимость продукции (в млрд. руб.),

X₂ – заработная плата (в млрд. руб.),

X₃ – стоимость покупных комплектующих изделий,

X₄ – стоимость энергообеспечения и т.д.

Тогда, если вычислить парные выборочные коэффициенты корреляции между всеми переменными попарно, то получим квадратную симметричную матрицу R размера m х m, которая называется корреляционной.

Корреляционная матрица R используется для вычисления частного и множественного коэффициентов корреляции.

Частный коэффициент корреляции. Если объекты анализируются по множеству переменных X₁, X₂, …, X_m, то парные коэффициенты корреляции могут не отражать правильную взаимосвязь между ними. Замечено, что иногда сильная корреляционная зависимость между двумя переменными вызывается не реально существующей между ними зависимостью, а действием на обе переменные в одном направлении третьей переменной (или нескольких) переменных. В связи с этим возникает необходимость исключить влияние этого третьего фактора и получить «очищенное» значение коэффициента корреляции. Это достигается вычислением частных коэффициентов корреляции по формуле (при условии, что исследуемые случайные величины X₁, X₂, …, X_m подчиняются многомерному нормальному закону) [1].

где R_ij – алгебраическое дополнение к элементу r_ij корреляционной матрицы R (для упрощения в формуле оставлены лишь индексы переменных), а Z – множество переменных без x_i и y_i.

Рассмотрим частный случай, когда n = 3, т.е. имеются переменные Х₁, Х₂, Х₃. Тогда

Пример. Пусть Х₁ – зарплата, Х₂ – себестоимость продукции, Х₃ – оплата за материалы. По выборке объема n = 60 вычислены парные коэффициенты корреляции: r₁₂ = 0,92; r₁₃ = 0,79; r₂₃ = 0,83, а также частные: r_12.3 = 0,78; r_13.2 = 0,09; r_23.1 = 0,45. Из приведенных данных видно, что зависимость между Х₁ и Х₃ вызвана воздействием переменной Х₂ – себестоимостью продукции. Если ее исключить, то получим r_13.2 = 0,09, т.е. между Х₁ и Х₃ практически не существует линейной зависимости.

Множественный коэффициент корреляции

является мерой линейной зависимости между одной переменной Х_i и множеством переменных .

Вычисляется по формуле

,

где det R – определитель матрицы R.

R_ii – алгебраическое дополнение к элементу r_ii корреляционной матрицы R.

Пусть m = 3, т.е. имеются три переменные Х₁, Х₂, Х₃. Положим i = 1, тогда , т.е. необходимо вычислить множественный коэффициент корреляции между Х₁ и переменными Х₂, Х₃.

Множественный коэффициент корреляции изменяется от 0 до 1. Нулевое значение этого коэффициента указывает, что X_i не зависит линейно от множества переменных, входящих в Z. Чем ближе множественный коэффициент корреляции к единице, тем сильнее линейная зависимость, а значение, равное единице, указывает на функциональную линейную зависимость, например, .

По данным предыдущего примера вычислим множественный коэффициент корреляции

Итак, парный коэффициент корреляции между себестоимостью и зарплатой r₂₁ = 0,92, а R_2.13 = 0,959, т.е. зависимость себестоимости от зарплаты и оплаты за материалы близка к функциональной.