- •3.1.1.1. Определение числа степеней свободы масс
- •3.1.1.2. Расчётная схема рамы
- •3.1.1.3. Динамический расчёт по уравнениям в форме метода сил ( в амплитудах инерционных силовых факторов )
- •3.1.1.4. Динамический расчёт по уравнениям в форме
- •3.1.2. Расчёт рамы на статические нагрузки
- •3.1.3. Определение полных расчётных усилий
- •3.1.3. О приближённом учёте инерции вращения масс
- •Приложение к задаче 3.1
- •1 2 3 5 4 1 Перемещения узлов и узловые нагрузки Узел
- •Задача 3.2. Динамический расчёт симметричной системы
- •Задача 3.3. Динамический расчёт системы с взаимозависимыми перемещениями сосредоточенных масс
- •Задача 3.4. Приближённое определение частоты собственных колебаний
- •Задача 3.5. Расчёт системы с конечным числом степеней свободы масс на кинематические воздействия
- •3.5.2. Негармоническое кинематическое воздействие
- •Задача 3.6. Расчёт стержневой системы с гасителем колебаний на вибрационную нагрузку
- •4. Контрольные вопросы
Задача 3.3. Динамический расчёт системы с взаимозависимыми перемещениями сосредоточенных масс
m(3)
m(4)
J6
y8
l1
l2
/2
l2
/2
J8
J7
y6
y3
y7
lm
y1
y5
m(1)
m(2)
J5
J3
J1
y2
y4
J4
J2
Рис.3.37
На рис. 3.37, б обозначены компоненты перемещений масс и инерционных силовых факторов, без учёта их возможной взаи-мозависимости, но в предположении отсутствия вертикального перемещения массы m(4). Используя обозначения, введённые в п. 1.6, вектор исходных перемещений масс формируем как вось-микомпонентный: y = [ y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8]т , соответ-ствующий вектор исходных инерционных силовых факторов –
J = [ J1 J2 J3 J4 J5 J6 J7 J8]т .
Их компоненты в случае собственных колебаний связаны
зависимостью J =(при гармонических вынужденных коле-
баниях заменяется на F ),
г
масс как минимальное количество связей,
н
перемещений масс ( рис. 3.38 ). Пренебре-
г
Рис. 3.38
н
y5 = y7 = y8 =
Матрица связи между векто-
рами исходных y и групповых ( об-
общённых ) перемещений масс:
Используем её для определе-
ния групповых инерционных сило-
вых факторов соответствующих
обобщённым перемещениям , и
для формирования матрицы приведённых масс порождающих
групповые По формулам ( 1.108 ) и ( 1.107 ):
где Im(1) = Im0(1) + m(1) ( здесь Im0(1) =em = lm / 2 ).
Для контроля: при = /2 ( левая нижняя стойка – вертикальная ) из вышепри-ведённых матриц получается = [ J1+J5 J3 J4 J7 +J8 ]т – исчезают J2 и J6 , так как
становятся невозможными вертикальные перемещения масс m(1) и m(2) ( см. рис. 3.37 );
смысл этих матриц очевиден.
Динамические расчёты рассматриваемой системы проще
выполнять по уравнениям в амплитудах перемещений:
для случая собственных колебаний и при вынуж-
денных колебаниях – с использованием основной системы МП,
п
Z1
, Z2
, Z3
и
Z4
– это амплиту-ды независимых перемещений
масс. Остальные
–
дополни-тельные
(
угловые
) перемеще-ния
расчётных узлов ОСМП.
Обратим
внимание
на
то,
что присутствующие
в
расчёт-ной
схеме
инерционные сило-вые факторы в явном
виде в уравнения не входят, так как
отражены в динамических по-правках в
компонентах
матриц
динамической
жёсткости
и
( см.
п. 1.5.4.4 и п.1.5.5
).
Z5
Z6
Z1
=
Z2
=
Z3
=
Z4
=
Z7
Z8
Рис. 3.39
Далее решение строится так, как описано в задаче 3.1,
в том числе с возможным переходом к уравнениям и
, относящимся к рассчитываемой системе, – путём
исключения дополнительных неизвестных Zd = [ Z5 Z6 Z7 Z8 ]т .
Единичные состояния ОСМП, необходимые для построения матрицы её жёсткости r0 , изображены на рис. 3.40.
k41
k41
k41
k41
k41
k41
k41
k41
k41
k41
k41
k41
k41
k41
k41
k41
k41
k41
Z2=
1
k41
k41
k41
Z1=
1
Z3=
1
k41
k41
k41
k41
k41
k41
k41
k41
k41
k41
Z4=
1
Z6=
1
Z5=
1
k41
k41
k41
k41
k41
k41
k41
k41
k41
k41
k41
k41
k41
k41
k41
k41
k41
k41
k41
k41
k41
k41
k41
k41
k41
k41
Z8=
1
k41
k41
k41
k41
Z7=
1
k41
k41
k41
Рис. 3.40
Матрицу динамической жёсткости системы при собствен-ных колебаниях формируем, используя матрицу жёсткости ОСМП r0 и полученную ранее матрицу масс :
С и м м е
т р и ч н о
Матрица динамической жёсткости при вынужденных гар-монических колебаниях отличается от частотой F вместо .
Ненулевые единичные реакции r0, ik определяются обычным по-рядком при конкретных числовых значениях геометрических и жесткостных параметров системы.
по рис. 3.41. Весовые коэффи-
циенты k11 , k12 , …, k42 компо-
вия пропорциональности сил
ниям ( при гармонических коле-
баниях ): k11 : k12 : k13 : k14 =
Рис. 3.41
Учитывая, что y1 = y5 ( см.
рис. 3.37 ), y2 = y6 = y1ctg , получаем k11 : k12 : k13 : k14 =
= 1 : ctg : m(2)/m(1) : (m(3)/m(1)) ctg . Значения k1j находим из ус-ловия k11 + k12 + k13 + k14 = 1. Например, при = /3 , m(2) = m(1) , m(3) = 0,5 m(1) : k11 = k13 = 0,3489; k12 = 0,2015; k14 = 0,1007. Осталь-ные коэффициенты: k41 = m(3) / (m(3) + m(4)); k42 = m(4) / (m(3) + m(4)).
k14
ik матрицы упругой податливости а)
р
k11
k13
ваем её единичные состояния, изо-
б
k
= 2
k12
k42
k41
б) в) г)
k
= 2
k
= 2
k
= 2
Рис. 3.42
После нахождения единичных силовых факторов от ( рис. 3.43 ) и вычисления по ним перемещений ik подоб-
но тому, как это сделано в задаче 3.1, формируем матрицы дина-
Рис. 3.43
мической податливости для случаев собственных и гармоничес-ких вынужденных колебаний: и , где