3.2. Пример решения задачи

3.2.1. Постановка задачи

Рассматривается стержень круглого поперечного сечения диаметром (рис. 12).

При нагружении в результате деформаций точки стержня получат перемещения

(3.7)

где – соответственно модуль Юнга коэффициент Пуассона.

Требуется определить:

поверхностные и объемные нагрузки, приложенные к этому стержню;

кинематические граничные условия, препятствующие перемещению стержня как абсолютно твердого тела.

Рис.12

3.2.2. Определение компонентов деформаций

Выражения для компонентов деформация в произвольной точке получим из уравнений Коши (3.2), подставляя в эти уравнения заданные функции перемещений (3.7):

;

Объемную деформацию находим, подставляя в выражение (1.28) вычисленные компоненты относительной линейной деформации

(3.8)

Следовательно, в результате деформаций возникло уменьшение объема тела.

3.2.3. Определение компонент напряжений

Компоненты напряжения находим из физических уравнений (3.5), связывающих между собой напряжения и деформации. Для этого подставим в (3.5) найденные значения компонентов деформации , объёмной деформации и .

Итак,

По площадкам, перпендикулярным осям координат касательные напряжения равны нулю. Следовательно, эти площадки является главными, а напряжения – главными напряжениями. Поскольку из трех главных напряжений два равны нулю, то имеет место линейное напряженное состояние.

3.2.4. Определение объемных нагрузок

Составляющие объемной силы входят в дифференциальные уравнения равновесия (3.1). Подставляем в уравнения (3.1) вычисленные значения компонентов напряжений

Следовательно, при заданных перемещениях объемные нагрузки на стержень не действуют.

3.2.5. Определение поверхностных нагрузок

Поверхностные силы могут быть приложены к боковой поверхности стержня, а также на правом и левом его торцах (см. рис. 12). Определим поверхностные внешние нагрузки, под действием которых возникли найденные выше деформации и напряжения.

На боковой поверхности стержня вокруг произвольной точки с координатами выделим площадку, ориентацию которой относительно осей координат зададим направляющими косинусами внешней нормали к этой площадке (рис. 12 и 13)

(3.9)

П

Рис. 13

одставим в (3.6) найденные компоненты напряжения

и направляющие косинусы . Так как правые части уравнений (3.6) обращаются в ноль, то и левые части уравнений также должны быть равны нулю. Следовательно, боковая поверхность стержня свободна от нагрузок.

Далее, определим наличие внешних сил на правом торце. Для этого к малой площадке, лежащей на правом торце, проведем внешнюю нормаль (см. рис. 12). Эта нормаль совпадает с положительным направлением оси и перпендикулярна осям и . Направляющие косинусы нормали :

Подставляем значения в граничные условия (3.6), получим

(3.10)

Так как в точках тела у правого торца при напряжения равны

(3.11)

то, подставляя в уравнения (3.10) вместо напряжений их значения в виде (3.11), получим

(3.12)

Наконец, определим наличие поверхностных нагрузок на левом торце. Направляющие косинусы внешней нормали (см. рис. 12)

Подставляя эти направляющие косинусы в граничные условия (3.6), найдем поверхностные нагрузки

(3.13)

Так как напряжения внутри тело у левого торца в точках с координатой имеют значения , то проекций интенсивности поверхностных нагрузок имеют следующие величины:

(3.13)

На рис. 14 показаны поверхностные нагрузки, приложенные к стержню.

Рис. 14