Timofeeva_S_S_Nadezhnost_tekhnicheskikh_sistem_i_tekhnogenny_risk_uchebn_posobie_Irkutsk_Izd-vo_IRNITU_2015_Ch_1_141

Определим математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение времени до отказа элементов.

Элемент 1. Распределение Вейбулла с параметром формы α=2 и параметром масштаба β= 1800:

Элемент 2. Гамма распределение с параметром формы α=7 и параметром масштаба β= 300:

Элемент 3. Pacпределение Рэлея с параметром λ=8·10-8:

Элемент 4. Экспоненциальное распределение с параметром λ=0,0002:

Некоторые законы распределения вероятностей
Распределение	f(t)	P(t)
Экспоненциальное Exp(λ)
Равномерное U(a, b), a≥0	0, t<a, t>b	1, t<a;	0, t>b

Гамма Г(α, β)

Усеченное нормальное TN(m0, σ0) m≥1,33σ

Рэлея R(λ)

Вейбулла W(α, β)

Нормальное N(m, σ) m>3σ

Равномерное и нормальное распределение имеют ограничения на параметры для того, чтобы их можно было использовать для решения задач надежности в неотрицательной временной области (t≥0).

Вычислим вероятность безотказной работы элементов.

Элемент 1. Распределение Вейбулла:

Элемент 2. Гамма-распределение:

Элемент 3. Распределение Рэлея:

Элемент 4. Экспоненциальное распределение:

Элемент 5. Усеченное нормальное распределение:

Табулируя эти функции от 0 до 2000 часов с шагом 100 часов, получим табл. 7.

В последнюю колонку записаны значения вероятностей безотказной работы системы, которые определяются произведением вероятностей безотказной работы элементов;

Таблица 7 - Вероятность безотказной работы элементов

t, час Р1(t)	Р2(t)	Р2(t)	Р3(t)	Р4(t)	Р5(t)
0,980199		0,995696	0,9992	0,996918	0,972194
0,960789	0,999994	0,995696	0,996805	0,987730	0,936745
0,941765	0,999917	0,990256	0,992826	0,972604	0,894281
0,923116	0,999532	0,983464	0,987282	0,951817	0,845456
0,904837	0,998321	0,975087	0,980199	0,925741	0,790895

0,886920 0,995466 0,964883 0,971611 0,894839 0,731242

0,869358 0,989932 0,952605 0,961558 0,859646 0,667280

0,852144 0,980612 0,938013 0,950089 0,820755 0,600058

0,835270 0,966491 0,920884 0,937255 0,778801 0,530939

0,818731 0,946799 0,901022 0,923116 0,734444 0,461577

0,802519 0,921097 0,878275 0,907738 0,688351 0,393774

0,786628 0,889326 0,852542 0,891188 0,641180 0,329303

0,771052 0,851793 0,823788 0,873541 0,593567 0,269727

0,755784 0,809123 0,792053 0,854875 0,546108 0,216247

0,740818 0,762784 0,757456 0,835270 0,499352 0,169613

0,726149 0,712001 0,720202 0,814810 0,453789 0,130105

0,711770 0,659674 0,680578 0,793581 0,409845 0,097577

0,697676 0,606303 0,595754 0,771669 0,367879 0,071540

0,683861 0,552922 0,551479 0,749162 0,328179 0,051268

0,670320 0,500461 0,506654 0,726149 0,290960 0,035911

На рис. 4 показаны графики функций Pi(t), i = 1,2,3,4,5, соответствующие вероятностям безотказной работы элементов. Номера графиков соответствуют номерам элементов. На рис. 5 изображен график вероятности безотказной работы системы Рс(t).

Рис. 4. Вероятность безотказной работы элементов

Рис. 5. Вероятность безотказной работы системы

Из графиков видно различное поведение вероятностей безотказной работы элементов. Скорость убывания вероятностей зависит от вида и параметров закона распределения. В нашем случае медленнее всего убывает P(t) для экспоненциального распределения и распределения Рэлея, т.e. при большом времени работы наиболее надежными оказываются третий и четвертый элементы системы.

Вычислим среднее время безотказной работы системы:

По формуле Симпсона:

где n –число точек;

h – шаг интегрирования, выбираемый из условия обеспечения требуемой точности.

Расчеты показывают, что для данных табл. 7 T1=976,3 час.

На рис. 6 изображены графики интенсивностей отказов элементов. Кривая 4, соответствующая экспоненциальном закону, параллельна оси времени, т. к. имеет постоянную интенсивность отказа. Все остальные кривые интенсивностей отказов являются возрастающими функциями времени.

На рис. 7 показан график интенсивности отказа системы, равной сумме интенсивностей отказов ее элементов:

Рис. 7. Интенсивность отказа системы

Интенсивность отказа системы также является возрастающей функцией времени, что говорит о том, что система является стареющей, а закон распределения времени до ее отказа не экспоненциальный.

Вычислим плотности распределения вероятностей времени безотказной работы элементов.

Элемент 1. Распределение Вейбулла:

Элемент 2. Гамма-распределение:

Элемент 3. Распределение Рэлея:

Элемент 4. Экспоненциальное распределение:

Элемента 5. Усеченное нормальное распределение:

Табулируя плотности распределения от 0 до 2000 часов с шагом 100 часов, получим табл. 8.

Таблица 8 - Плотность распределения времени безотказной работы элементов

t, час F1(t)	f2(t)	f3(t)	f4(t)	F5(t)
0,0002		0,000038
0,000196		0,000048	0,000016	0,000062
0,000192		0,000061	0,000032	0,000122
0,000188	0,000002	0,000075	0,000048	0,000180
0,000185	0,000007	0,000092	0,000063	0,000235
0,000181	0,000019	0,000112	0,000078	0,000286
0,000177	0,00004	0,000134	0,000093	0,000331
0,000174	0,000072	0,000158	0,000108	0,000371
0,000170	0,000116	0,000185	0,000122	0,000405
0,000167	0,000168	0,000213	0,000135	0,000433
0,000164	0,000227	0,000242	0,000148	0,000453
0,000161	0,000288	0,000272	0,000160	0,000467
0,000157	0,000347	0,000303	0,000171	0,000475
0,000154	0,000402	0,000332	0,000182	0,000476
0,000151	0,000450	0,000360	0,000191	0,000472
0,000148	0,000487	0,000385	0,000200	0,000462
0,000145	0,000514	0,000407	0,000209	0,000448
0,000142	0,000530	0,000425	0,000216	0,000430
0,000140	0,000535	0,000438	0,000222	0,000409
0,000137	0,000531	0,000441	0,000228	0,000385
0,000134	0,000517	0,000449	0,000232	0,000359

Графики,построенные по данным табл. 8. представлены на рис. 8.

Плотность распределения времени до отказа системы fс(t) изображена на рис. 9. Для ее изображения вычисления выполнялись по формуле:

f (t) =λc(t)Рc (t)

Рис. 8. Плотности распределения времени до отказа элементов

Рис. 9. Плотность распределения времени до отказа системы

Из графика отчетливо видна неэкспоненциальность распределения времени до отказа нерезервированной системы, если законы распределения времени до отказа ее элементов не являются экспоненциальными.

Законы распределения времени до отказа элементов и их параметры

Вариант Элементы
TN(390; 100)	Г(9; 65)	Exp(8·10-5)	R(2·10-5)	W(5; 200)
R(1·10-5)	W(4,5; 180)	Г(8; 77)	TN(400; 92)	Exp(1·10-4)
Г(10; 70)	Exp(5·10-5)	TN(375; 86)	R(3·10-5)	W(4,8; 190)
TN(380; 100)	R(1,6·10-5)	W(7; 210)	Exp(2·10-4)	Г(9; 85)
W(6; 195)	TN(410; 95)	Exp(2·10-5)	Г(8; 75)	R(2,5·10-5)

Определить:

–вероятность безотказной работы системы;

–среднее время безотказной работы системы;

–интенсивность отказов системы;

–плотность распределения времени до отказа системы.

Решение представить в аналитическом виде, в виде графиков и таблиц.

Задание 5. Система состоит из пяти элементов с экспоненциальными законами распределения времени до отказа. Показателями их надежности являются:

P1(100)=0,99; λ2 = 0,00001 час-1; Т3 = 8100 час., Т4 =7800 час, λ2 = 0,000025 час-1.

Определить время t, в течение которого система будет исправна с вероятностью 0,92.

Задание 6.Система состоит из пяти элементов с постоянными интенсивностями отказов. Вероятность безотказной работы элементов в течение t часов имеют следующие значения: P1(100)=0.99; Р2(200)=0,97; Р3(157) =0,98; P4(350) = 0,95;

Р5(120)=0,98.

Определить вероятность безотказной работы системы в течение 625 часов ее функционирования, а также среднее время безотказной работы.

Задание 7.Время работы до отказа серийно выпускаемой детали распределено по нормальному закону е параметрами: m =1000 час, σ = 250 час. Определить:

–вероятность того, что деталь проработает безотказно более 1200 часов;

–вероятность того, что наработка до отказа будет находиться в интервале [m– 3σ, m+3σ]

–вероятность того, что, безотказно проработав до момента времени 1200 часов, деталь безотказно проработает и до 1500 часов.

Задание 8.Комплектующая деталь, используемая при изготовлении устройства, по данным поставщика имеет нормальное распределение времени до отказа с параметрами m= 4000 час; σ =1000 час. Определить следующие показатели надежности детали:

–наработку до отказа, соответствующие 90 % надежности детали;

–вероятность того, что деталь имеет наработку, лежащую в интервале [2000;

3000];

–вероятность того, что деталь имеет наработку, большую, чем 4000 часов.

Теоретические положения. Критерии надежности резервированных невосстанавливаемых систем те же, что и нерезервированных невосстанавливаемых систем.

Критерии надежности резервированных невосстанавливаемых систем те же, что и нерезервированных невосстанавливаемых систем.

Основными видами резервирования являются: общее постоянное, общее замещением, раздельное постоянное, раздельное замещением. Структурные схемы резервированных систем приведены на рис. 1.

Приведем основные соотношения для показателей надежности резервированных систем.

1. Общее резервирование с постоянно включенным резервом

Пусть Pi (t) – вероятность безотказной работы i-го элемента за время t, Qi(t) – вероятность отказа i-го элемента за время t, fi (t) – плотность распределения времени до, отказа i-го элемента в момент времени t. Тогда вероятность безотказной работы, плотностьраспределения времени безотказной работы и интенсивность отказов системы с кратностьюрезервирования m определяются соотношениями:

(1)

(2)

(3)

В частности, для экспоненциальных распределений времени до отказа элементов с одинаковыми параметрами λ имеют место равенства:

P(t) = 1 – (1 – eλt)m+1 (4)

ƒ(t) = (m + 1) λe-λt (1 – eλt)m (5)

λc(t) = (6)

Среднее времябезотказной работы системы определяется выражением:

Формулы справедливы для случая, когда нерезервированная система рассматривается как один элемент, показатели надежности которого известны. В действительности любая система состоит из большого числа элементов, каждый из которых имеет показатель надежности, самостоятельно учитываемый при расчете. В таком случае формула для вероятности безотказной работы имеет вид:

Pс(t) = 1– (8)

где n – число элементов нерезервированной системы;

Рij(t) – вероятность безотказной работы элемента с номером (i,j).

2. Общее резервирование замещением

Вероятность безотказной работы, плотность распределения времени до отказа и среднее время безотказной работы системы определяются выражениями:

Pс (t) = P0 (t) + ƒ0 · ƒ1 · … · ƒi=1· Pi(t) (9)

Примеры решения задач.

Пример 1. Дана резервированная система с постоянным резервом кратности m = 2. Элементы системы имеют постоянную интенсивность отказа λ=0,05 час-1. Найти показатели надежности системы: вероятность безотказной работы, плотность распределения времени до отказа, интенсивность отказа, среднее время безотказной работы.

Решение: Воспользуемся формулами (4)–(6). Тогда получим:

Pc(t) = 1– (1–e-λt)m+1 = 1–(1–e-0.05t)3

ƒ(t) =(m+1)λe-λt(1–e-λt)m= 3·0,05e-0.05t(1- e-0.05t)2

λс(t) =

Табулируя функции, найдем искомые показатели надежности, представленные в табл. 1.

Таблица 1 - Показатели надежности резервированной системы с

постоянно включенным резервом и кратностью резервирования m=2

t, час Рс(t)

fc(t)

λc(t)

0,989177 0,005716 0,005778

0,939084 0,014085 0,014999

0,853108 0,019726 0,023122

0,747420 0,022049 0,029501

0,636777 0,021878 0,034357

0,531138 0,020200 0,038031

0,435977 0,017794 0,048014

0,353538 0,015177 0,042930

0,284042 0,012653 0,044546

0,226594 0,010374 0,045784

0,179785 0,008402 0,046736

0,142048 0,006743 0,047469