§ 4. Округление результатов

Обработка результатов измерений в лабораториях проводятся на калькуляторах и ПК, и просто удивительно, как магически действует на многих студентов длинных ряд цифр после запятой. «Так точнее» – считают они. Однако легко видеть, например, что запись a = 2.8674523 ± 0.076 бессмысленна. При ошибке 0.076 последние пять цифр числа не означает ровно ничего.

Если мы допускаем ошибку в сотых долях, то тысячным, тем более десятитысячным долям веры нет. Грамотная запись результата была бы 2.87 ± 0.08. Всегда нужно производить необходимые округления, чтобы не было

ложного впечатления о большей, чем это есть на самом деле, точности результатов.

Правила округления

Погрешность измерения округляют до первой значащей цифры, всегда увеличивая ее на единицу.

Примеры:

8.27 ≈ 9	0.237 ≈ 0.3
0.0862 ≈ 0.09	0.00035 ≈ 0.0004
857.3 ≈ 900	43.5 ≈ 50

Результаты измерения округляют с точностью «до погрешности», т.е. последняя значащая цифра в результате должна находиться в том же разряде, что и в погрешности.

Примеры:

243.871 ± 0.026 ≈ 243.87 ± 0.03; 243.871 ± 2.6 ≈ 244 ± 3; 1053 ± 47 ≈ 1050 ± 50.

Округление результата измерения достигается простым отбрасыванием цифр, если первая из отбрасываемых цифр меньше 5.

Примеры:

8.337 (округлить до десятых) ≈ 8.3; 833.438 (округлить до целых) ≈ 833; 0.27375 (округлить до сотых) ≈ 0.27.

Если первая из отбрасываемых цифр больше или равна 5 , (а за ней одна или несколько цифр отличны от нуля), то последняя из остающихся цифр увеличивается на единицу.

Примеры:

8.3351 (округлить дл сотых) ≈ 8.34; 0.2510 (округлитьь до десятых) ≈ 0.3; 271.515 (округлить до целых) ≈ 272.

Если отбрасываемая цифра равна 5 , а за ней нет значащих цифр (или стоят одни нули), то последнюю оставляемую цифру увеличивают на единицу, когда она нечетная, и оставляют неизменной, когда она четная.

Примеры:

0.875 (округлить до сотых) ≈ 0.88; 0.5450 (округлить до сотых) ≈ 0.54; 275.500 (округлить до целых) ≈ 276; 276.500 (округлить до целых) ≈ 276.

Примечание.

Значащими называют верные цифры числа, кроме нулей, стоящих впереди числа. Например, 0,00807 – в этом числе имеется три значащих цифры: 8, ноль между 8 и 7 и 7 ; первые три нуля незначащие.

8.12 · 103 – в этом числе 3 значащих цифры.

Записи 15,2 и 15,200 различны. Запись 15,200 означает, что верны сотые и тысячные доли. В записи 15,2 – верны целые и десятые доли.

Результаты физических экспериментов записывают только значащими цифрами. Запятую ставят сразу после отличной от нуля цифры, а число умножают на десять в соответствующей степени. Нули, стоящие в начале или конце числа, как правило, не записывают. Например, числа 0,00435 и 234000 записывают так: 4,35·10-3 и 2,34·105. Подобная запись упрощает вычисления, особенно в случае формул, удобных для логарифмирования.

§ 5. Обработка косвенных измерений

В лабораторной практике большинство измерений – косвенные и интересующая нас величина является функцией одной или нескольких непосредственно измеряемых величин:

N = ƒ (x, y, z, ...)  (13)

Как следует из теории вероятностей, среднее значение величины определяется подстановкой в формулу (13) средних значений непосредственно измеряемых величин, т.е.

¯N = ƒ (¯x, ¯y, ¯z, ...)  (14)

Требуется найти абсолютную и относительную ошибки этой функции, если известны ошибки независимых переменных.

Рассмотрим два крайних случая, когда ошибки являются либо систематическими, либо случайными. Единого мнения относительно вычисления систематической ошибки косвенных измерений нет. Однако, если исходить из определения систематической ошибки как максимально возможной ошибки, то целесообразно находить систематическую ошибку по формулам

   (15) 

или

,   (16)

где  частные производные функции N = ƒ(x, y, z, ...) по аргументу x, y, z..., найденные в предположении, что все остальные аргументы, кроме того, по которому находится производная, постоянные; δx, δy, δz – систематические ошибки аргументов.

Формулой (15) удобно пользоваться в случае, если функция имеет вид суммы или разности аргументов. Выражение (16) применять целесообразно, если функция имеет вид произведения или частного аргументов.

Для нахождения случайной ошибки косвенных измерений следует пользоваться формулами:

  (17)  

или

, (18)

где Δx, Δy, Δz, ... – доверительные интервалы при заданных доверительных вероятностях (надежностях) для аргументов x, y, z, ... . Следует иметь в виду, что доверительные интервалы Δx, Δy, Δz, ... должны быть взяты при одинаковой доверительной вероятности P1 = P2 = ... = Pn = P.

В этом случае надежность для доверительного интервала ΔN будет тоже P.

Формулой (17) удобно пользоваться в случае, если функция N = ƒ(x, y, z, ...) имеет вид суммы или разности аргументов. Формулой (18) удобно пользоваться в случае, если функция N = ƒ(x, y, z, ...) имеет вид произведения или частного аргументов.

Часто наблюдается случай, когда систематическая ошибка и случайная ошибка близки друг к другу, и они обе в одинаковой степени определяют точность результата. В этом случае общая ошибка ∑ находится как квадратичная сумма случайной Δ и систематической δ ошибок с вероятностью не менее чем P, где P – доверительная вероятность случайной ошибки:

.

При проведении косвенных измерений в невоспроизводимых условиях функцию находят для каждого отдельного измерения, а доверительный интервал вычисляют для получения значений искомой величины по тому же методу, что и для прямых измерений.

Следует отметить, что в случае функциональной зависимости, выраженной формулой, удобной для логарифмирования, проще сначала определить относительную погрешность, а затем из выражения ΔN = ε ¯N найти абсолютную погрешность.

Прежде чем приступать к измерениям, всегда нужно подумать о последующих расчетах и выписать формулы, по которым будут рассчитываться погрешности. Эти формулы позволят понять, какие измерения следует производить особенно тщательно, а на какие не нужно тратить больших усилий.

При обработке результатов косвенных измерений предлагается следующий порядок операций:

Все величины, находимые прямыми измерениями, обработайте в соответствии с правилами обработки результатов прямых измерений. При этом для всех измеряемых величин задайте одно и то же значение надежности P.

Оцените точность результата косвенных измерений по формулам (15) – (16), где производные вычислите при средних значениях величин. Если ошибка отдельных измерений входит в результат дифференцирования несколько раз, то надо сгруппировать все члены, содержащие одинаковый дифференциал, и выражения в скобках, стоящие перед дифференциалом взять по модулю; знак d заменить на Δ (или δ).

Если случайная и систематическая ошибки по величине близки друг к другу, то сложите их по правилу сложения ошибок. Если одна из ошибок меньше другой в три или более раз, то меньшую отбросьте.

Результат измерения запишите в виде:

N = ƒ (¯x, ¯y, ¯z, ...) ± Δƒ.

Определите относительную погрешность результата серии косвенных измерений Приведем примеры расчета ошибки косвенного измерения.

Пример 1.Находится объем цилиндра по формуле

где d – диаметр цилиндра, h – высота цилиндра.

Обе эти величины определяются непосредственно. Пусть измерение этих величин дало следующие результаты:

d = (4.01 ± 0.03) мм ,

h = (8.65 ± 0.02) мм, при одинаковой надежности Р = 0.95.

Среднее значение объема, согласно (14) равно

Воспользовавшись выражением (18) имеем:

ln V = ln π + 2 lnd + lnh - ln4;

 ;

 ;

 ;

 .

Так как измерения производились микрометром, цена деления которого 0.01 мм , систематические ошибки δd = δh = 0.01 мм. На основании (16) систематическая ошибка δV будет

 .

Систематическая ошибка оказывается сравнимой со случайной, следовательно

 .

Таким образом, результат измерения оказывается

V = (109 ± 2) мм3 при P = 0.95

 .

Пример 2. Найти абсолютную и относительную погрешности для следующей функциональной зависимости:

 .

В этом случае удобнее сначала искать относительную погрешность. Тогда

= d[ln(m1 + m2 - m3)] - d(ln2) - d(ln m1) - d(ln m2) =

 .

До сих пор подразумевается математический смысл дифференциала, и знаки слагаемых учитываются. Раскроем теперь выражение d(m1 + m2 - m3) = dm1 + dm2 - dm3 и разделим почленно на знаменатель. Затем объединим все члены, содержащие дифференциалы одной и той же переменной:

 .

Используя формулу (18), получим

 .

Абсолютную случайную погрешность найдем из выражения

Δτ = ε ·¯¯τ

Используя формулу (16) получаем

 .

Абсолютную систематическую ошибку найдем из выражения

δτ = ε τ¯

Приведем таблицу расчета погрешностей для простейших функций.

N	ƒ	Δƒ	ε =Δƒ/ƒ	N	ƒ	Δƒ	ε =Δƒ/ƒ
1	x + y	Δx + Δy	(Δx + Δy)/(x + y)	6	x^1/n	Δx / (n · x^(n-1)/n)	Δx/(nx)
2	x - y	Δx + Δy	(Δx + Δy)/(x - y)	7	sin x	cos x· Δx	ctg x· Δx
3	x · y	xΔy + yΔx	(Δx/x) + (Δy/y)	8	cos x	sin x· Δx	tg x· Δx
4	x/y	(xΔy + yΔx)/y^2	(Δx/x) + (Δy/y)	9	tg x	Δx/cos^2x	2Δx/sin 2x
5	x^n	nx^n-1 · Δx	nΔx/x	10	lg x	0.434Δx/x	0.434Δx/(x · lg x)