§ 6. Метод наименьших квадратов

Если некоторая физическая величина зависит от другой величины , то эту зависимость можно исследовать, измеряя y при различных значениях x . В результате измерений получается ряд значений:

x₁, x₂, ..., x_i, , ... , x_n;

y₁, y₂, ..., y_i, , ... , y_n.

По данным такого эксперимента можно построить график зависимости y = ƒ(x). Полученная кривая дает возможность судить о виде функции ƒ(x). Однако постоянные коэффициенты, которые входят в эту функцию, остаются неизвестными. Определить их позволяет метод наименьших квадратов. Экспериментальные точки, как правило, не ложатся точно на кривую. Метод наименьших квадратов требует, чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от кривой, т.е. [y_i – ƒ(x_i)]² была наименьшей.

На практике этот метод наиболее часто (и наиболее просто) используется в случае линейной зависимости, т.е. когда

y = kx    или  y = a + bx.

Линейная зависимость очень широко распространена в физике. И даже когда зависимость нелинейная, обычно стараются строить график так, чтобы получить прямую линию. Например, если предполагают, что показатель преломления стекла n связан с длиной λ световой волны соотношением n = a + b/λ², то на графике строят зависимость n от λ^-2.

Рассмотрим зависимость y = kx (прямая, проходящая через начало координат). Составим величину φ – сумму квадратов отклонений наших точек от прямой

.

Величина φ всегда положительна и оказывается тем меньше, чем ближе к прямой лежат наши точки. Метод наименьших квадратов утверждает, что для k следует выбирать такое значение, при котором φ имеет минимум

или    (19)

Вычисление показывает, что среднеквадратичная ошибка определения величины k равна при этом

,   (20) где – n число измерений.

Рассмотрим теперь несколько более трудный случай, когда точки должны удовлетворить формуле y = a + bx (прямая, не проходящая через начало координат).

Задача состоит в том, чтобы по имеющемуся набору значений x_i, y_i найти наилучшие значения a и b.

Снова составим квадратичную форму φ , равную сумме квадратов отклонений точек x_i, y_i от прямой

и найдем значения a и b , при которых φ имеет минимум

 ;

 .

.

Совместное решение этих уравнений дает

  (21)

.  (22)

Среднеквадратичные ошибки определения a и b равны

  (23)

.  (24)

При обработке результатов измерения этим методом удобно все данные сводить в таблицу, в которой предварительно подсчитываются все суммы, входящие в формулы (19)–(24). Формы этих таблиц приведены в рассматриваемых ниже примерах.

Пример 1. Исследовалось основное уравнение динамики вращательного движения ε = M/J (прямая, проходящая через начало координат). При различных значениях момента M измерялось угловое ускорение ε некоторого тела. Требуется определить момент инерции этого тела. Результаты измерений момента силы и углового ускорения занесены во второй и третий столбцы таблицы 5.

Таблица 5

n	M, Н · м	ε, c^-1	M^2	M · ε	ε - kM	(ε - kM )^2
1	1.44	0.52	2.0736	0.7488	0.039432	0.001555
2	3.12	1.06	9.7344	3.3072	0.018768	0.000352
3	4.59	1.45	21.0681	6.6555	-0.08181	0.006693
4	5.90	1.92	34.81	11.328	-0.049	0.002401
5	7.45	2.56	55.5025	19.072	0.073725	0.005435
∑	–	–	123.1886	41.1115	–	0.016436

По формуле (19) определяем:

.

Отсюда

.

Для определения среднеквадратичной ошибки воспользуемся формулой (20)

= 0.005775 кг^-1 · м^-2 .

По формуле (18) имеем

; .

S_J = (2.996 · 0.005775)/0.3337 = 0.05185 кг · м².

Задавшись надежностью P = 0.95 , по таблице коэффициентов Стьюдента для n = 5, находим t = 2.78 и определяем абсолютную ошибку ΔJ = 2.78 · 0.05185 = 0.1441 ≈ 0.2 кг · м².

Результаты запишем в виде:

J = (3.0 ± 0.2) кг · м²;

.

Пример 2. Вычислим температурный коэффициент сопротивления металла по методу наименьших квадратов. Сопротивление зависит от температуры по линейному закону

R_t = R₀(1 + α t°) = R₀ + R₀ α t°.

Свободный член определяет сопротивление R₀ при температуре 0° C , а угловой коэффициент – произведение температурного коэффициента α на сопротивление R₀.

Результаты измерений и расчетов приведены в таблице (см. таблицу 6).

Таблица 6

n	t°, c	r, Ом	t-¯ t	(t-¯ t)^2	(t-¯ t)r	r - bt - a	(r - bt - a)^2,10^-6
1	23	1.242	-62.8333	3948.028	-78.039	0.007673	58.8722
2	59	1.326	-26.8333	720.0278	-35.581	-0.00353	12.4959
3	84	1.386	-1.83333	3.361111	-2.541	-0.00965	93.1506
4	96	1.417	10.16667	103.3611	14.40617	-0.01039	107.898
5	120	1.512	34.16667	1167.361	51.66	0.021141	446.932
6	133	1.520	47.16667	2224.694	71.69333	-0.00524	27.4556
∑	515	8.403	–	8166.833	21.5985	–	746.804
∑/n	85.83333	1.4005	–	–	–	–	–

По формулам (21), (22) определяем

,

R₀ = ¯R- α R₀¯ t = 1.4005 - 0.002645 · 85.83333 = 1.1735 Ом .

Отсюда:

.

Найдем ошибку в определении α. Так как , то по формуле (18) имеем:

.

Пользуясь формулами (23), (24) имеем

 ;

= 0.014126 Ом.

Тогда

Задавшись надежностью P = 0.95, по таблице коэффициентов Стьюдента для n = 6, находим t = 2.57 и определяем абсолютную ошибку Δα = 2.57 · 0.000132 = 0.000338 град^-1.

α = (23 ± 4) · 10^-4 град^-1 при P = 0.95.

.

Пример 3. Требуется определить радиус кривизны линзы по кольцам Ньютона. Измерялись радиусы колец Ньютона r_m и определялись номера этих колец m. Радиусы колец Ньютона связаны с радиусом кривизны линзы R и номером кольца уравнением

r²_m = mλR - 2d₀R,

где d₀ – толщина зазора между линзой и плоскопараллельной пластинкой (или деформация линзы),

λ – длина волны падающего света.

Пусть

λ = (600 ± 6) нм; r²_m = y; m = x; λR = b; -2d₀R = a,

тогда уравнение примет вид y = a + bx.

Результаты измерений и вычислений занесены в таблицу 7.

Таблица 7

n	x = m	y = r^2, 10^-2 мм^2	m -¯m	(m -¯m)^2	(m -¯m)y	y - bx - a, 10^-4	(y - bx - a)^2, 10^-6
1	1	6.101	-2.5	6.25	-0.152525	12.01	1.44229
2	2	11.834	-1.5	2.25	-0.17751	-9.6	0.930766
3	3	17.808	-0.5	0.25	-0.08904	-7.2	0.519086
4	4	23.814	0.5	0.25	0.11907	-1.6	0.0243955
5	5	29.812	1.5	2.25	0.44718	3.28	0.107646
6	6	35.760	2.5	6.25	0.894	3.12	0.0975819
∑	21	125.129	–	17.5	1.041175	–	3.12176
∑/n	3.5	20.8548333	–	–	–	–	–

Рассчитываем:

1. a и b по формулам (21), (22).

;

a = ¯ r² - b¯m = (0.208548333 - 0.0594957 · 3.5) = 0.0003133 мм².

2. Рассчитаем среднеквадратичные ошибки для величин b и a по формулам (23), (24)

 ;

3. При надежности P = 0.95 по таблице коэффициентов Стьюдента для n = 6 находим t = 2.57 и определям абсолютные ошибки

Δb = 2.57 · 0.000211179 = 6·10^-4 мм²;

Δa = 2.57 · 0.000822424 = 3· 10^-3 мм².

4. Записываем результаты

b = (595 ± 6)·10^-4 мм² при Р = 0.95;

a = (0.3 ± 3)·10^-3 мм² при Р = 0.95;

Из полученных результатов опыта следует, что в пределах ошибки этого опыта прямая r²_m = ƒ(m) проходит через начало координат, т.к. если ошибка значения какого-либо параметра окажется сравнимой или превысит значение параметра, то это означает, что скорей всего, настоящее значение этого параметра равно нулю.

В условиях данного эксперимента величина   a  не представляет интереса. Поэтому мы ею больше заниматься не будем.

5. Подсчитаем радиус кривизны линзы:

R = b / λ = 594.5 / 6 = 99.1 мм.

6. Так как для длины волны дана систематическая ошибка, подсчитаем и для R систематическую ошибку по формуле (16), взяв в качестве систематической ошибки величины b ее случайную ошибку Δb.

.

Записываем окончательный результат R = (99 ± 2) мм   ε ≈ 3% при P = 0.95.