МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РФ

ГОУ МИАССКИЙ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИЙ ТЕХНИКУМ

РАССМОТРЕНО на заседании цикловой комиссии спец. “Естественно-научных дисцип.” Протокол №____ от ________2004г. Председатель цикловой комиссии ______________/С.В.Скоробогатова /

УТВЕРЖДАЮ Зам.директора по УПР _______/И.В.Карпов/ “____”________2004г.

Практическое занятие n 15

по дисциплине МАТЕМАТИКА

" Вычисление двойных интегралов "

Курс II Специальность (все технические)

Разработал:________/Н.И.Буяндуков/

2004 г.

Практическое занятие № 15 " Вычисление двойных интегралов "

Цель: Научиться алгоритму нахождения двойных интегралов.

Оборудование: Карточки-задания, микрокалькулятор, линейка, карандаш.

Порядок выполнения практического занятия.

1. Ознакомиться с кратким теоретическим содержанием для выполнения практического занятия.

2. Выполнить предложенные задания.

3. Результаты, полученные при выполнении заданий, занести в таблицу.

4. Ответить на контрольные вопросы.

Краткая теория.

1. Двойной интеграл в прямоугольных координатах

Пусть функция f(х,y) определена в ограниченной замкнутой области D плоскости хОy. Разобъем область D произвольным образом на n элементарных областей, имеющих площади , , … , и диаметры d₁ ,d₂ ,...,d_n (диаметром области называется наибольшее из расстояний между двумя точками границы этой области). Выберем в каждой элементарной области произвольную точку P_i (х_i; у_i) и умножим значение функции в точке P_i на площадь этой области.

Интегральной суммой для функции f(х,y) по области D называется сумма вида:

Двойным интегралом от функции f(х,y) по области D называется предел интегральной суммы при условии, что наибольший из диаметров элементарных областей стремится к нулю:

(1)

Если функция f(х;y) непрерывна в замкнутой области D, то предел интегральной суммы существует и не зависит от способа разбиения области D на элементарные и от выбора точек P_i .

Если f(х,y)>0 в области D, то двойной интеграл равен объему цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z=f(х,y), сбоку цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Oz, и снизу областью D плоскости хOy.

2. Основные свойства двойного интеграла

1. (2)

2. , где с -постоянная (3)

3. Если область интегрирования D разбита на две области D₁ и D_2, то

(4)

В декартовых координатах двойной интеграл обычно записывают в виде .

3. Правила вычисления двойных интегралов

Различают два основных вида области интегрирования.

1. Область интегрирования D ограничена слева и справа прямыми х=a и х=b (причем a<b), а снизу и сверху – непрерывными кривыми и , где <, каждая из которых пересекаются вертикальной прямой только в одной точке (рис.1)

(рис.1)

Для такой области двойной интеграл вычисляется по формуле

(5)

причем сначала вычисляется интеграл f(х,y) dy, в котором х считается постоянным.

Итак для того, чтобы вычислить интеграл по формуле (5) необходимо:

1). сначала вычислить определенный интеграл ,считая х - постоянным числом (или говорят вычислить внутренний интеграл), где

- - нижняя граница интегрирования;

- , - верхняя граница интегрирования.

Результатом вычисления внутреннего интеграла является функция, зависящая только от х.

2) полученную функцию от х теперь повторно интегрируем в границах от a до b и таким образом получаем значение двойного интеграла.

Замечание: В формуле (5) границы внешнего интеграла всегда постоянны, т.е. не зависят от переменных х и у.

4. Примеры вычислений двойных интегралов.

Пример 1: Вычислить двойной интеграл

Решение:

1. Интегрируем сначала по переменной у в пределах от –х до х, считая, что во внутреннем интеграле х - соnst

2. А теперь интегрируем по переменной х в пределах от 0 до 1, функцию

Для сокращения записи все вычисления можно записать следующим образом:

Ответ:

Пример 2: Вычислить двойной интеграл

Решение:

Ответ: 0,9

Пример 3: Вычислить двойной интеграл по прямоугольной области D, ограниченной прямыми х = 1,х = 2,у = 0 и у = 2,

Решение:

Ответ: 7

Пример 4: Вычислить двойной интеграл если областью интегрирования является прямоугольник, ограниченный прямыми у=1 и у=2 (), х=0 и х=4 ().

Решение: Построим данные прямые на декартовой координатной плоскости

(рис.2)

Ответ:

Пример 5: Вычислить двойной интеграл если областью интегрирования является треугольник, ограниченный прямыми у=0, х=2 и

Решение: Построим данные прямые на декартовой координатной плоскости

(рис.3)

Ответ:

Задания

Задание 1. Вычислить двойной интеграл:

№ варианта	Исходные данные	№ варианта	Исходные данные
Вариант 1		Вариант 9
Вариант 2		Вариант 10
Вариант 3		Вариант 11
Вариант 4		Вариант 12
Вариант 5		Вариант 13
Вариант 6		Вариант 14

Вариант 7		Вариант 15
Вариант 8		Вариант 16

Задание 2. Вычислить двойной интеграл:

№ варианта	Исходные данные	№ варианта	Исходные данные
Вариант 1		Вариант 9
Вариант 2		Вариант 10
Вариант 3		Вариант 11
Вариант 4		Вариант 12
Вариант 5		Вариант 13
Вариант 6		Вариант 14
Вариант 7		Вариант 15
Вариант 8		Вариант 16

Задание 3. Вычислить двойной интеграл по прямоугольной области D, ограниченной прямыми

№ варианта	Двойной интеграл, ограниченный прямыми	№ варианта	Двойной интеграл, ограниченный прямыми
Вариант 1	где х= -1, х=2, у=0 и у=4	Вариант 9	где х= -1, х=4, у=0 и у=4
Вариант 2	где х= -1, х=3, у=0 и у=3	Вариант 10	где х= -1, х=5, у=0 и у=3
Вариант 3	где х= -1, х=4, у=0 и у=2	Вариант 11	где х= -1, х=6, у=0 и у=2
Вариант 4	где х= -1, х=5, у=0 и у=1	Вариант 12	где х= -1, х=1, у=0 и у=1
Вариант 5	где х= -1, х=6, у=0 и у=4	Вариант 13	где х= -1, х=2, у=0 и у=4
Вариант 6	где х= -1, х=1, у=0 и у=3	Вариант 14	где х= -1, х=3, у=0 и у=3
Вариант 7	где х= -1, х=2, у=0 и у=2	Вариант 15	где х= -1, х=4, у=0 и у=2
Вариант 8	где х= -1, х=3, у=0 и у=1	Вариант 16	где х= -1, х=4, у=0 и у=1

Задание 4. Вычислить двойной интеграл по прямоугольной области D, ограниченной прямыми

№ варианта	Двойной интеграл, ограниченный прямыми	№ варианта	Двойной интеграл, ограниченный прямыми
Вариант 1		Вариант 9

Вариант 2		Вариант 10
Вариант 3		Вариант 11
Вариант 4		Вариант 12
Вариант 5		Вариант 13
Вариант 6		Вариант 14
Вариант 7		Вариант 15
Вариант 8		Вариант 16

Задание 5. Вычислить двойной интеграл , где областью интегрирования - является треугольник, ограниченный прямыми

№ варианта	Двойной интеграл, ограниченный прямыми	№ варианта	Двойной интеграл, ограниченный прямыми
Вариант 1	где y=0, х=1 и у=2x	Вариант 9	где y=0, х=1 и у=4x
Вариант 2	где y=0, х=2 и у=2x	Вариант 10	где y=0, х=2 и у=4x

Вариант 3	где y=0, х=3 и у=2x	Вариант 11	где y=0, х=3 и у=4x
Вариант 4	где y=0, х=4 и у=2x	Вариант 12	где y=0, х=4 и у=4x
Вариант 5	где y=0, х=1 и у=3x	Вариант 13	где y=0, х=1 и у=5x
Вариант 6	где y=0, х=2 и у=3x	Вариант 14	где y=0, х=2 и у=5x
Вариант 7	где y=0, х=3 и у=3x	Вариант 15	где y=0, х=3 и у=5x
Вариант 8	где y=0, х=4 и у=3x	Вариант 16	где y=0, х=4 и у=5x

Карта полученных результатов

№ задания	Результаты выполненных заданий (ответы)
Задание 1
Задание 2
Задание 3
Задание 4
Задание 5

Контрольные вопросы:

1. Что называется интегральной суммой ?

2. Дать определение двойного интеграла .

3. В чем заключается геометрический смысл двойного интеграла ?

4. Описать алгоритм нахождения двойного интеграла .

5. Перечислить свойства двойных интегралов.

Отчет о проделанной работе.

1.Цель работы.

2.Задание.

3.Выписать формулы, необходимые для вычислений.

4.Описание решения заданий.

5.Оформить карту полученных результатов ( внести ответы ).

6.Ответить на контрольные вопросы.

16

1

2

15

3

14

4

13

5

12

6

11

7

10

8

9