МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РФ

ГОУ МИАССКИЙ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИЙ ТЕХНИКУМ

РАССМОТРЕНО на заседании цикловой комиссии спец. “Естественно-научных дисц.” Протокол N____ от ________2003г. Председатель цикловой комиссии __________________/А.П.Пинаева /

УТВЕРЖДАЮ Зам.директора по УПР _______/И.В.Карпов/ “____”________2003г.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ N 11

(для технических специальностей)

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ N 9

(для экономических специальностей)

по дисциплине МАТЕМАТИКА

"Вычисление определенных интегралов

непосредственным интегрированием и методом подстановки"

Курс II Специальности (все)

Разработал:________/Н.И.Буяндуков/

2003 г.

Тема "Вычисление определенных интегралов непосредственным интегрированием и методом подстановки"

Цели: 1. Научиться алгоритму нахождения определенного интеграла непосредственным интегрированием.

2. Научиться алгоритму нахождения определенного интеграла методом подстановки.

Оборудование: Карточки-задания, микрокалькулятор, линейка, карандаш.

Порядок выполнения практического занятия.

1. Ознакомиться с кратким теоретическим содержанием для выполнения практического занятия.

2. Выполнить предложенные задания.

3. Результаты, полученные при выполнении заданий, занести в таблицу.

4. Ответить на контрольные вопросы.

Краткая теория.

1. Определение определенного интеграла

Определенным интегралом (интегралом) от функции f(х) на отрезке [a,b] называется приращение первообразной F(х) этой функции и обозначается:

(1)

Эта формула (1) называется формулой Ньютона - Лейбница.

Для любой функции f(х), непрерывной на отрезке [a,b], всегда существует определенный интеграл .

2. Основные свойства определенного интеграла.

1. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых функций:

(2)

2. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

(3)

3. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:

(4)

4. Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:

(5)

5. Отрезок интегрирования можно разбивать на части:

(6)

Для вычисления определенного интеграла от функции f(х) в том случае, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл F(х), служит формула Ньютона-Лейбница:

т.е. определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Примеры: Найти следующие интегралы:

3. Интегрирование определенных интегралов

методом замены переменной(метод подстановки).

При вычислении определенного интеграла методом замены переменной (способом подстановки) определенный интеграл преобразуется с помощью подстановки t=g(х) в определенный интеграл относительно новой переменной t.

При этом старые пределы интегрирования a и b заменяются соответственно новыми пределами интегрирования  и , которые находятся из основной подстановки.

Из первой подстановки новые пределы интегрирования вычисляются =g(а) и =g(b).

Из второй подстановки новые пределы интегрирования находятся путем решения уравнений a=g() и b=g() относительно  и .

Таким образом, имеем

(7)

Примеры: Найти следующие интегралы:

.

Обозначим , тогда найдем дифференциал функции, откуда , следовательно, .

Далее находим пределы интегрирования по новой переменной t, которые определяются из значения подъинтегральной функции, где вместо х подставляем значения 2 и 3.

Находим нижний предел , тогда верхний предел .

Подставим найденные значения t и , и новые пределы интегрирования  и  в исходный интеграл и, тогда получим

.

.

Обозначим , далее находим дифференциал функции, откуда , следовательно, . Таким образом

Далее находим пределы интегрирования по новой переменной t, которые определяются из значения подъинтегральной функции, где вместо х подставляем значения 1 и 2.

Находим нижний предел , тогда верхний предел .

Подставим найденные значения t и , и новые пределы интегрирования  и  в исходный интеграл и, тогда получим

.

.

Обозначим , далее находим дифференциал функции, откуда , следовательно, .

Находим нижний предел , тогда верхний предел .

Таким образом

.

.

Обозначим , тогда найдем дифференциал функции, откуда , следовательно, .

Находим нижний предел , тогда верхний предел .

Итак

.

Обозначим , далее находим дифференциал функции, откуда , следовательно, .

Находим нижний предел , тогда верхний предел .

Таким образом

.

Обозначим , тогда , откуда , следовательно, .

Находим нижний предел , тогда верхний предел .

Таким образом

.

Обозначим , тогда , откуда , следовательно, .

Находим нижний предел , тогда верхний предел .

Итак имеем интеграл

.

Обозначим , тогда , откуда , следовательно, .

Находим нижний предел , тогда верхний предел .

Таким образом

Задания

Задание 1. Найти следующие интегралы:

№ варианта	Исходные данные	№ варианта	Исходные данные
Вариант 1		Вариант 9
Вариант 2		Вариант 10
Вариант 3		Вариант 11
Вариант 4		Вариант 12
Вариант 5		Вариант 13
Вариант 6		Вариант 14
Вариант 7		Вариант 15
Вариант 8		Вариант 16

Задание 2. Найти следующие интегралы:

№ варианта	Исходные данные	№ варианта	Исходные данные
Вариант 1		Вариант 9
Вариант 2		Вариант 10
Вариант 3		Вариант 11
Вариант 4		Вариант 12
Вариант 5		Вариант 13
Вариант 6		Вариант 14
Вариант 7		Вариант 15
Вариант 8		Вариант 16

Задание 3. Найти следующие интегралы:

№ варианта	Исходные данные	№ варианта	Исходные данные
Вариант 1		Вариант 9
Вариант 2		Вариант 10
Вариант 3		Вариант 11
Вариант 4		Вариант 12

Вариант 5		Вариант 13
Вариант 6		Вариант 14
Вариант 7		Вариант 15
Вариант 8		Вариант 16

Задание 4. Найти следующие интегралы:

№ варианта	Исходные данные	№ варианта	Исходные данные
Вариант 1		Вариант 9
Вариант 2		Вариант 10
Вариант 3		Вариант 11
Вариант 4		Вариант 12
Вариант 5		Вариант 13
Вариант 6		Вариант 14
Вариант 7		Вариант 15
Вариант 8		Вариант 16

Задание 5. Найти следующие интегралы:

№ варианта	Исходные данные	№ варианта	Исходные данные
Вариант 1		Вариант 9
Вариант 2		Вариант 10
Вариант 3		Вариант 11
Вариант 4		Вариант 12
Вариант 5		Вариант 13
Вариант 6		Вариант 14
Вариант 7		Вариант 15
Вариант 8		Вариант 16

Задание 6. Найти следующие интегралы:

№ варианта	Исходные данные	№ варианта	Исходные данные
Вариант 1		Вариант 9
Вариант 2		Вариант 10
Вариант 3		Вариант 11

Вариант 4		Вариант 12
Вариант 5		Вариант 13
Вариант 6		Вариант 14
Вариант 7		Вариант 15
Вариант 8		Вариант 16

Задание 7. Найти следующие интегралы:

№ варианта	Исходные данные	№ варианта	Исходные данные
Вариант 1		Вариант 9
Вариант 2		Вариант 10
Вариант 3		Вариант 11
Вариант 4		Вариант 12
Вариант 5		Вариант 13
Вариант 6		Вариант 14
Вариант 7		Вариант 15
Вариант 8		Вариант 16

Задание 8. Найти следующие интегралы:

№ варианта	Исходные данные	№ варианта	Исходные данные
Вариант 1		Вариант 9
Вариант 2		Вариант 10
Вариант 3		Вариант 11
Вариант 4		Вариант 12
Вариант 5		Вариант 13
Вариант 6		Вариант 14
Вариант 7		Вариант 15
Вариант 8		Вариант 16

Задание 9. Найти следующие интегралы:

№ варианта	Исходные данные	№ варианта	Исходные данные
Вариант 1		Вариант 9
Вариант 2		Вариант 10
Вариант 3		Вариант 11
Вариант 4		Вариант 12

Вариант 5		Вариант 13
Вариант 6		Вариант 14
Вариант 7		Вариант 15
Вариант 8		Вариант 16

Задание 10. Найти следующие интегралы:

№ варианта	Исходные данные	№ варианта	Исходные данные
Вариант 1		Вариант 9
Вариант 2		Вариант 10
Вариант 3		Вариант 11
Вариант 4		Вариант 12
Вариант 5		Вариант 13
Вариант 6		Вариант 14
Вариант 7		Вариант 15
Вариант 8		Вариант 16

Задание 11. Найти следующие интегралы:

№ варианта	Исходные данные	№ варианта	Исходные данные
Вариант 1		Вариант 9
Вариант 2		Вариант 10
Вариант 3		Вариант 11
Вариант 4		Вариант 12
Вариант 5		Вариант 13
Вариант 6		Вариант 14
Вариант 7		Вариант 15
Вариант 8		Вариант 16

Задание 12. Найти следующие интегралы:

№ варианта	Исходные данные	№ варианта	Исходные данные
Вариант 1		Вариант 9
Вариант 2		Вариант 10
Вариант 3		Вариант 11
Вариант 4		Вариант 12

Вариант 5		Вариант 13
Вариант 6		Вариант 14
Вариант 7		Вариант 15
Вариант 8		Вариант 16

Карта полученных результатов

№ задания	Результаты выполненных заданий (ответы)
Задание 1
Задание 2
Задание 3
Задание 4
Задание 5
Задание 6
Задание 7
Задание 8
Задание 9
Задание 10
Задание 11
Задание 12

Контрольные вопросы:

1. Какая функция называется определенным интегралом ?

2. Перечислить основные свойства определенных интегралов?

3. В чем заключается сущность метода непосредственного интегрирования неопределенных интегралов.

4. Назвать формулу Ньютона - Лейбница?

5. В чем заключается сущность интегрирования определенных интегралов методом замены переменной (подстановки)?

6. Описать алгоритм интегрирования определенных интегралов методом замены переменной?

7. Что называется дифференциалом функции у=f(х)?

8. Для чего необходимо введение новой переменной?

9. Относительно какой переменной вычисляется табличный интеграл?

10. Как определяются новые пределы интегрирования?

Отчет о проделанной работе.

1. Цель работы.

2. Задание.

3. Выписать формулы, необходимые для вычислений.

4. Описание решения заданий.

5. Оформить карту полученных результатов (внести ответы).

6. Ответить на контрольные вопросы.

20

2

19

3

18

4

17

5

16

6

15

7

14

8

13

9

12

10

11