- •Задания для решения на практическом занятии
- •Задания для самостоятельной работы
- •Тема 10. Свойства функций. Непрерывность функции
- •10.1. Свойства функций
- •10.2. Преобразования графика функции
- •10.3. Непрерывность функции
- •10.4. Точки разрыва функции
- •10.5. Функции в экономической теории
- •10.5.1. Кривые спроса и предложения. Паутинная модель рынка
- •10.5.2. Зависимость спроса от дохода. Функции Торнквиста
- •Задания для решения на практическом занятии
- •Задания для самостоятельной работы
- •Тема 11. Производная и дифференциал. Производные высших порядков
- •11.1. Производная и дифференциал
- •11.2. Производные высших порядков
- •11.3. Использование понятия производной в экономике
- •11.3.1 Предельные показатели в микроэкономике
- •11.3.2. Эластичность функции
- •Использование эластичности в анализе экономических показателей
- •Задания для решения на практическом занятии
- •Задания для самостоятельной работы
- •Тема 12. Исследование функций и построение графиков
- •12.1. Использование методов дифференциального исчисления для исследования функций и построения графиков
10.5.2. Зависимость спроса от дохода. Функции Торнквиста
В теории потребительского спроса используются функции, моделирующие связь между величиной дохода потребителей и величиной их спроса на различные товары (функции Торнквиста). В зависимости от цены на товары, эти функции имеют следующий вид (рис. 10.3):
а) для малоценных товаров ;
б) для товаров первой необходимости ;
в) для товаров второй необходимости (относительной роскоши) ;
г) для предметов роскоши .
Величины , , являются параметрами модели. Значение показывает уровень насыщения спроса малоценными товарами, товарами первой или второй необходимости. Значение показывает уровень дохода потребителей, с которого начинается потребление товаров второй необходимости и предметов роскоши.
Теоретический материал: [1, гл. 5, 6], [2, гл. 4], [3, гл. 3, 3.6–3.9], [5], [8], [10], [12, гл. 3], [17], [19], [21], [27], [33, ч. 1, гл. 6], [40, т. 1, гл. 4].
Задания для решения на практическом занятии
1. Найти область определения функции:
а) , б) , в) , г) .
2. Установить четность или нечетность функции:
а) , б) , в) , г) .
3*. Найти наименьший положительный период функции:
а) , б) .
4. С помощью преобразований построить график функции:
а) , б) , в) , г) .
5. Показать, что функция непрерывна в точке двумя способами:
а) , ; б) , ; в) , .
6. Найти точки разрыва функции и указать их тип:
а) , б) , в) , г) д) .
7. Спрос и предложение на некоторый товар на рынке описываются линейными зависимостями вида , . Определить равновесную цену. Установить графическим способом, является ли паутинная модель рынка «скручивающейся». Заданы значения параметров , , , :
а) ; б) ;
в) ; г) .
Задания для самостоятельной работы
1. Найти область определения функции:
а) , б) , в) , г) .
2. Установить четность или нечетность функции:
а) , б) , в) , г) .
3*. Найти наименьший положительный период функции:
а) , б) .
4. С помощью преобразований построить график функции:
а) , б) , в) , г) .
5. Показать, что функция непрерывна в точке двумя способами:
а) , ; б) , .
6. Найти точки разрыва функции и указать их тип:
а) , б) , в) , г)
7. Спрос и предложение на некоторый товар на рынке описываются линейными зависимостями вида , . Определить равновесную цену. Установить графическим способом, является ли модель паутинного рынка «скручивающейся», если заданы значения параметров , , , :
а) ; б) ;
в) ; г) .
Тема 11. Производная и дифференциал. Производные высших порядков
11.1. Производная и дифференциал
Пусть функция определена на множестве , , , точка является предельной для множества .
Определение 1. Производной функции в точке называют предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при (при условии, что этот предел существует): .
Определение 2. Функцию называют дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке можно представить в виде , где – вещественное число, .
Теорема 1. Для того, чтобы функция являлась дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно, чтобы .
Определение 3. Дифференциалом функции в точке называют главную линейную относительно часть приращения функции в этой точке: .
Определение 4. Дифференциалом независимой переменной называют приращение этой переменной: .
Основные правила вычисления производных
1. Если функции , дифференцируемы в точке , то сумма (разность), произведение и частное (при условии ) этих функций также дифференцируемы в точке , причем справедливы следующие формулы:
, , .
2. Если функция дифференцируема в точке и – число, то .
3. Пусть функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в точке . Тогда сложная функция имеет производную в точке и справедлива формула .
4. Если функция определена, непрерывна и строго монотонна на отрезке , то у нее существует обратная функция , производная которой вычисляется по формуле .
Таблица производных основных элементарных функций
1. . |
2. . |
3. , . |
4. . |
5.,. |
6.,. |
7. . |
8. . |
9. . |
10. . |
11. . |
12.. |
13. . |
14. . |
15. . |
Основные правила вычисления дифференциалов
1. Если функции , дифференцируемы в точке , принадлежащей их общей области определения, то сумма (разность), произведение и частное (при условии ) этих функций также дифференцируемы в этой точке, причем справедливы следующие формулы:
, , .
2. Если функция дифференцируема в точке и , то .
3. Пусть функция дифференцируема в точке , а функция дифференцируема в точке . Тогда сложная функция дифференцируема в точке и справедлива формула .
Таблица дифференциалов элементарных функций
1. . |
2. . |
3. . |
4. , . |
5. , . |
6. , . |
7. . |
8. . |
9. . |
10. . |
11. . |
12. . |
13. . |
14. . |
|
Пример 1. Вычислить производную функции .
Решение. .
Пример 2. Найти первый дифференциал функции в точке .
Решение. 1) Вычислим производную функции : .
2) Вычислим значение производной функции в точке : .
3) Тогда .
Уравнение касательной к графику функции в точке :
.
Определение 5. Нормалью к графику функции в точке называют прямая, перпендикулярную к касательной к графику функции в точке .
Уравнение нормали к графику функции в точке :
.
Геометрический смысл производной: значение производной функции в точке равно тангенсу угла наклона к положительному направлению оси касательной к графику этой функции в точке .
Пример 3. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции в точке .
Решение. 1) Вычислим при : .
2) Вычислим значение производной функции в точке : .
3) Составим уравнение касательной: или .
4) Составим уравнение нормали: или .
Экономический смысл производной: производная объема произведенной продукции по времени есть производительность труда в момент .