Вопросы для самопроверки

1. В чем сущность методов центрального и параллельного проецирования?

2. Какие изображения называют полными и метрически определенными?

3. Какие изображения называют рисунками, какие чертежами?

4. Какие проекции называются ортогональными, аксонометрическими, с числовыми отметками, векторными?

5. Что называют координатами точки в прямоугольной пространственной системе?

6. Что такое эпюр Монжа?

7. Сформулируйте основные теоремы ортогонального чертежа точки.

8. Какие прямые называют линиями уровня? Проецирующими линия­ми? Назовите их.

9. Что называется следами прямой линии?

10. Для какой прямой на ортогональном чертеже следы а) совпадают; б)одинаково удалены от оси проекций; в) лежат на оси проекций.

11. Как определяются по заданным проекциям отрезка его длина и углы наклона к плоскости проекции?

12. Могут ли скрещивающиеся прямые иметь параллельные проекции на плоскостях V и Н?

13. Назовите способы задания плоскостей общего положения и проецирующих плоскостей?

14. Каковы условия принадлежности прямых линий и точек плоскости?

15. Какие направления имеют главные линии плоскостей общего поло­жения и проецирующих плоскостей?

16. Как определить в проекциях видимость прямой, пересекающей плос­кую фигуру?

17. Сформулируйте условие параллельности и условие перпендикуляр­ности для прямой линии и плоскости и для двух плоскостей.

18. Что определяет направление дополнительной плоскости в методе замены плоскостей проекций в преобразовании треугольника общего поло­жения в проецирующий?

19. Укажите последовательность графических построений при ре6шении задачи по определению истинных размеров плоской фигуры (треугольника) способом замены плоскостей проекций?

20. В чем состоит принцип преобразования чертежа способом вращения вокруг проецирующих прямых?

21. Как определяют неуказанные оси вращения фигуры при плоскопараллельном перемещении?

22. Укажите последовательность графических построений при решении задачи по определению истинных размеров плоской фигуры способом вращения вокруг линии уровня.

23. Как определить видимость ребер многогранника в проекциях?

24. Как определить линию пересечения многогранника плоскостью и точки пересечения многогранника прямой линией?

25. Что такое развертка многогранника? Назовите способы развертывания поверхности многогранника?

26. Какова общая схема определения точек линии пересечения по­верхности плоскостью?

27. Какие точки линии пересечения поверхности вращения плоскостью называются главными (опорными)?

28. При каких условиях в сечении конуса вращения плоскостью полу­чаются окружность, эллипс, гипербола, парабола, пересекающиеся прямые (треугольник)?

2. Эпюр №1

Тема: Ортогональный чертеж точки, прямой и геометрического тела.

Содержание: Эпюр содержит решение двух задач.

Построить три вида тетраэдра по координатам, данным в таб­лице № 1.

Построить безосный чертеж ребра АВ. Образец выполнения задания на чертеже 1.

Пояснения к теме. На рис. 1 изображены три взаимоперпендикулярных плоскости. Примем их за плоскости проекций. Одна из них — горизонтальная плоскость Н, дру­гая — фронтальная плоскость V и третья — профильная плоскость W. Линии пересечения плоскостей проекций называются осями проекций. Ось проекций, разделяющая плоскости V и Н, обозначается буквой х; ось, раз­деляющая плоскости V и W — 2; а ось между Н и W — у. На рис. 1а пока­зано построение проекций некоторой точки А в системе Н, V, W. Проведя из т. А перпендикуляры к плоскостям Н, V, получаем проекции точки А: фронтальную, обозначенную а', горизонтальную — а и профильную — а". Итак, проекции точки получаются расположенными на прямых, перпенди­кулярных к осям проекций и пересекающих ось в одной и той же точке (а_X, а_У, а_z).

Повернув плоскости H и W вокруг осей проекций на угол 90° по стрелкам, получим одну плоскость - плоскость чертежа; проекции а', а и а" расположатся на перпендикулярах к осям проекций — на линиях связи. В результате указанного совмещения плоскостей V, Н и W получается чертеж, известный под названием эпюр.

Наличие оси проекций определяет положение точки относительно плоскостей проекций. Отрезок аа_Х выражает расстояние точки А от плоскости проекций Н, а отрезок аа_z — расстояние точки А от плоскости V. Чтобы определить на чертеже расстояние от плоскости W, необходимо найти профильную проекцию этой точки. Построение профильной проекции по фронтальной и горизонтальной производится с помощью вспомогательной прямой, расположенной под углом 45о и линий связи, как показано на рис. 1б. Расстоянии точки А от плоскости W равно отрезку аа_у. Все это позволяет пользоваться прямоугольными координатами, т. е. числами, выражающими расстояния от трех взаимоперпендикулярных плоскостей — плоскостей ко­ординат Н, V, W. Первая координата точки А, называемая ее абсциссой, рав­на отрезку оа_х и измеряется в миллиметрах (23). Вторая координата точ­ки А, называемая ее ординатой, соответствует отрезку оа_у и равна 15 мм. Наконец, третья — аппликата, соответствует отрезку оа_z и равна 20 мм. Построение точки по задающим ее координатам в наглядном изображении сводится к

построению трех ребер параллелепипеда координат. Точки В, С и Д на рис. 1 лежат на плоскостях проекций, т. е. занимают частное положение.Точка В лежит на фронтальной плоскости проекций, она совпадает с фронтальной проекцией b׳, ее горизонтальная проекция b лежит на оси абсцисс и совпадает с точкой b_x. Координаты точки В (35, 0, 37); точки С (5, 22, 0); Д (0, 28, 32).

Положим, дана точка N (40, 25, 30), эта запись означает, что точка N определяется координатами x=40 мм, у=25 мм, z=30 мм. Единица изме­рения на рис. 2 равна 10 мм, соответственно по оси х отложено 4 отрезка.

Предположим, что даны фронтальные и горизонтальные проекции точек А и В (рис. 3). Проведя через одноименные проекции этих точек прямые ли­нии, мы получаем проекции отрезка АВ — фронтальную (а'в') и горизонталь­ную аb. С помощью линий связи и постоянной линии чертежа построена третья проекция этой прямой. Точки А и В находятся на разных расстояниях от каждой из плоскостей V, Н и W, т. е. прямая АВ не параллельна ни одной из них. При этом ни одна из проекций прямой не параллельна оси проекций ох и не перпендикулярна к ней. Такая прямая называется прямой общего положения.

Две прямых в пространстве могут располагаться параллельно друг дру­гу, пересекаться и скрещиваться. На рис. 4 изображены две скрещиваю­щиеся прямые общего положения: хотя одноименные проекции и пересе­каются между собой, но точки их пересечения не могут быть соединены линией связи, параллельной линиям связи |׳| и m’m, т. е. эти прямые не пере­секаются между собой. Точка пересечения одноименных проекций скрещи­вающихся прямых представляет собой проекции двух точек, из которых одна принадлежит одной, а вторая — другой из этих скрещивающихся прямых. Например, точка с проекциями к’ и к принадлежит прямой АВ, а точка с проекциями I^’ и I принадлежит прямой СД. Эти точки одинаково удалены от плоскости V, но расстояния их от плоскости Н различны: точка с проекциями I’ и I выше, т.е. дальше от Н, чем точка с проекциями к' и к. Точки с проек­циями m', m и n’ одинаково удалены от плоскости Н, но расстояния этих точек от плоскости V различны.

Точки К, L, M, N называются конкурирующими точками. С помощью их определяют видимость элементов. Из двух конкурирующих точек видимой считается та, у которой координата больше. Точка с проекциями I' и I, при­надлежащая прямой СД, закрывает собой точку с проекциями к' и к прямой АВ по отношению к плоскости Н; соответствующее направление взгляда по­казано стрелкой у проекции I'. По отношению к плоскости V точка N с про­екциями n' и n прямой СД закрывает собой точку М с проекциями m' и m прямой АВ; направление взгляда указано стрелкой внизу, у проекции n.

В начертательной геометрии наряду с чертежами, содержащими оси проекции, применяются чертежи без указания осей. Из сравнения чертежей а) и б) рис. 5 следует, что одном случае положение плоскостей V и Н уста­новленно проведением линии их пересечения оси х и тем самым установле­ны расстояния точек от плоскостей проекций. На чертеже 56 вопрос о расстояниях точек А и В от плоскостей V и Н отпадает, т. к. ось проекций отсутствует; рассматриваются некоторые точки, заданные своими проекциями, безотносительно к тому, где находятся плоскости проекций.

Можно, имея чертеж без указания оси проекций, ввести эту ось и тем задать расстояния точки от условно выбранных плоскостей V и Н. Вводя ось ее надо провести обязательно перпендикулярно к линии связи, но безраз­лично в какой именно точке на этой линии (если не указывается какое-либо условие). На безосном чертеже устанавливается разность расстояний точек А и В от плоскости проекций. В данном примере разность расстояний точек от плоскости Н определяется отрезком а5 (∆z), от плоскости V — отрез­ком b6 (∆у).

Методические указания к выполнению эпюра

1. Задать начало координат точку О и провести оси.

2. По заданным координатам построить вершины тетраэдра и последовательно их соединить.

3. С помощью постоянной прямой построить третью проекцию тела.

4. Обозначить конкурирующие точки на трех проекциях. Определить видимость ребер.

5. Построить безосный чертеж одного ребра по разности координат.